四川省仁寿县2024-2025学年高三上学期一模诊断数学试卷

这是一份四川省仁寿县2024-2025学年高三上学期一模诊断数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．
C．D．
3．若某圆台的上、下底面的半径分别为1，3，且该圆台的体积为，则该圆台的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．函数的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ）
A．B．2C．6D．4
6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若复数，是方程的两个根，则（ ）
A．为纯虚数B．
C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上恰有10个零点
11．在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ）
A．
B．二面角的余弦值为
C．正四棱锥的外接球的表面积为
D．直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
三、填空题
12．若钝角满足，则 .
13．已知是奇函数，当时，，则 .
14．在如图所示的方格表中选5个方格，则这5个方格的数中恰有2个11的概率为 ，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为 .
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的直径.
16．如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点.

(1)证明：平面ABCD.
(2)若，求点N到平面AMF的距离.
17．在递增的等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为
表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
(1)求的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个?
19．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.
(1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
(2)对任意x，，函数，都满足.
①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.
②若，证明：当时，.
参考数据：，.
10
21
30
41
50
11
20
30
40
49
10
19
29
40
51
11
20
31
39
50
11
23
32
43
52
4
5
6
7
0.3
0.2
0.4
0.1
参考答案：
1．A
【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断.
【详解】在平行四边形ABCD中，，
而，，
，
.
故选：B.
3．D
【分析】根据圆台的体积公式即可求解.
【详解】由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为，
设该圆台的高为，则该圆台的体积为，
即，解得.
故选：D.
4．A
【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据x∈−1,1时，的奇偶性可排除D.
【详解】，
当x∈1,+∞和时，单调递增，单调递减，
在1,+∞，上单调递减，可排除BC；
当x∈−1,1时，，∴fx图象不关于轴对称，可排除D.
故选：A.
5．C
【分析】由等比数列的性质可得，进而结合题设求解即可.
【详解】由题意知，正项等比数列的前3项和为21，
且，
则，解得.
故选：C.
6．B
【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】由，得，
则，所以曲线在点处的切线方程为，
令，得；令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：B.
7．A
【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8．B
【分析】结合指数函数和对数的运算性质易得，，，进而分析比较与的大小，进而比较与的大小，进而判断即可.
【详解】，，
，
则，，下面比较与的大小，
即比较与的大小，
即比较与的大小，
即比较与的大小，而，
则，所以.
故选：B.
9．ABD
【分析】解方程得，通过计算逐一验证选项即可.
【详解】方程，，
方程的根为，
即方程的根为，，
不妨设，，
则为纯虚数，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，则，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】先根据图象求出函数的解析式，即可判断AB；再利用整体代入的思想结合正弦函数的性质判断CD.
【详解】由图可知，，，即，
又，则，故A正确；
此时，
又，且，则，故B正确；
此时，
当时，，
因为函数在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
当时，，
因为函数在上有10个零点，
所以在上恰有10个零点，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D.
【详解】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.
因为，所以异面直线与所成的角即，则.
设，则，，，则，
所以正四棱锥的体积为，
解得，所以，故A错误.
在正方形中，由于，为的中点，
所以，则为二面角的平面角，
所以，故B正确.
设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，
由，得，解得，
所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.
因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.
过点作，垂足为，
因为平面，且平面，
所以，又，且平面，
所以平面，又平面，
所以，又，且平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角，
则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求解立体几何中空间角的问题，往往有两种方法，一种是利用定义先找到角的位置，再求解；另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
12．5
【分析】根据为钝角易得，进而结合正切的二倍角公式求解即可.
【详解】由题意，，则，所以，
由，解得.
故答案为：5.
13．
【分析】由是奇函数，得函数关于对称，进而结合代值计算即可.
【详解】由是奇函数，得函数关于对称，
又当时，，
则.
故答案为：.
14．
【分析】根据古典概型可得第一空；观察题表可发现每列数字最大值都在最后一行出现，可计算出每一列中每个数字与此列最大值的差的绝对值，若要使得被选中数字的和最大，则只需差的绝对值之和最小即可，再通过观察法即可解决.
【详解】由题知表中共有25个数，其中包含3个11，
所以任选5个方格，其中恰有2个11的概率为.
根据题表知每列数字最大值都在最后一行出现，
根据题表可得出每列数字与此列中最大数的差的绝对值，如下表：
按要求每行和每列都恰有1个方格被选中，若被选方格的5个数之和最大，则差的绝对值之和最小，
所以要使得5个数之和最大，则这5个数可以为11，23，31，41，51，
此时和为，即和的最大值为.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，设，，进而结合余弦定理即可求解；
（2）结合题意，由三角形的面积公式可得，进而（1）所设，求出，进而结合正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
不妨设，，
则由余弦定理得，，
又，则.
（2）设外接圆的半径为，
由题意，，即，
由（1）知，设，，
则，解得，
则，所以，
则外接圆的直径为.
16．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）因为，，都垂直于平面，则.
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）连接.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，，，，
可得，，.
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，得，，可得.
故点到平面的距离.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式性质转化为，进而求得，，即可得出的通项公式；
（2）先表示出，再用错位相减法即可求解.
【详解】（1）设的公差为，因为数列是等差数列，
所以，由解得，
所以，所以.
（2）由（1）可得，
则①，
②，
①-②得
则.
18．(1)答案见解析
(2)应选
【分析】（1）由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解；
（2）分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.
【详解】（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14，
则，
，
，
，
，
，
，
则的分布列为：
（2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280，
则，，
，
，
，
则.
记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160，
则，，
，
，
，
显然，
所以应选择.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，即可解方程求解，
（2）①根据，取，可得，即可对求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证，②利用放缩法，先证明故，构造，求导，确定函数的最值即可求解.
【详解】（1）由可得，
由可得，解得，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，
（2）由可得对任意x，，恒成立，
所以存在常数，使得,
令，则，且，
解得，
①，则，
由于是“缺陷偶函数”，故，
即，即，
则，得，
，
由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有两个极值点.
②若，即，则，故，
当时，要证，只需要证. ，
因为，故，
只需证，
令，
当单调递减，当单调递增，
故，
所以，从而，故，
时，得证.
【点睛】法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
C
B
A
B
ABD
ABD
题号
11









答案
BCD









1
2
2
2
2
0
3
2
3
3
1
4
3
3
1
0
3
1
4
2
0
0
0
0
0
8
9
10
11
12
13
14
0.09
0.12
0.28
0.22
0.2
0.08
0.01