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湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位，若，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知角，满足，，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A.55B.77C.91D.113
7.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A.为奇函数B.为奇函数
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）
A.8B.9C.10D.11
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）
A.双曲线的离心率为2
B.直线的斜率的取值范围为
C.的取值范围为
D.
11.在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为3
B.二面角的余弦值为
C.球的表面积为
D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.
13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.
14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列为等比数列，数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求.
16.（15分）
如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.
（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；
（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.
18.（17分）
已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，
直线与轴，轴分别交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当的面积取最大值时，求的面积.
19.（17分）
2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：
（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；
（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
填空题：
12. 13. 14.
解答题：
15.（13分）解：
（1）因为为等比数列，所以，
即，化简得.
因为，得.
因此，易知为等比数列；
（2）由（1）知，.
，
16.（15分）解：
（1），，化简得.
由余弦定理得，，故；
（2）设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而.
二面角为直二面角，，平面平面，平面，
平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
，，.
设平面的法向量，则有，即
令，解得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17.（15分）解：
（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，
若两人交换的是玩偶，则概率也为，
故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）
（2）可取的值为0、1、2、3、4，
一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后
，
，
，
故随机变量的分布列为：
.
18.（17分）解：
（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.
由，解得.
因为椭圆的离心率为，得，.
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，
两式相减，得，整理得.（*）
设坐标为，由得为线段的中点，
，.
由在线段所在直线上，且坐标为，则有，
即.
由（*）得，故.
设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，
得，整理得.
由，得且.
因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.
，
点到直线的距离为，
，且.
记，.
由，及且得
即当时，取最大值.
此时直线方程为，与坐标轴交点为，
.
19.（17分）证明：
（1）设，，
则，
在上连续，在上可导.
又，
由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，
.
故方程在内至少有一个实根.
（2），在区间内有零点，
不妨设该零点为，则，.
由于，易知在和上连续，且在和上可导.
又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.
方程在上至少有两个不等实根和.
设，，则.
，.
当，即时，
，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去
当，即时，
，故在上单调递减.方程在上至多有
一个实根，不符合题意，舍去
当时，
由得，
时，有单调递减；
时，有单调递增.
在上的最小值.
注意到，则有.
方程在上至少有两个不等实根，
，解得.
结合，且，，
故的取值范围为.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
A
D
B
C
A
D
CD
ABD
ACD
0
1
2
3
4
考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位，若，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知角，满足，，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A.55B.77C.91D.113
7.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A.为奇函数B.为奇函数
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）
A.8B.9C.10D.11
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）
A.双曲线的离心率为2
B.直线的斜率的取值范围为
C.的取值范围为
D.
11.在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为3
B.二面角的余弦值为
C.球的表面积为
D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.
13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.
14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列为等比数列，数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求.
16.（15分）
如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.
（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；
（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.
18.（17分）
已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，
直线与轴，轴分别交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当的面积取最大值时，求的面积.
19.（17分）
2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：
（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；
（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
填空题：
12. 13. 14.
解答题：
15.（13分）解：
（1）因为为等比数列，所以，
即，化简得.
因为，得.
因此，易知为等比数列；
（2）由（1）知，.
，
16.（15分）解：
（1），，化简得.
由余弦定理得，，故；
（2）设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而.
二面角为直二面角，，平面平面，平面，
平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
，，.
设平面的法向量，则有，即
令，解得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17.（15分）解：
（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，
若两人交换的是玩偶，则概率也为，
故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）
（2）可取的值为0、1、2、3、4，
一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后
，
，
，
故随机变量的分布列为：
.
18.（17分）解：
（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.
由，解得.
因为椭圆的离心率为，得，.
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，
两式相减，得，整理得.（*）
设坐标为，由得为线段的中点，
，.
由在线段所在直线上，且坐标为，则有，
即.
由（*）得，故.
设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，
得，整理得.
由，得且.
因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.
，
点到直线的距离为，
，且.
记，.
由，及且得
即当时，取最大值.
此时直线方程为，与坐标轴交点为，
.
19.（17分）证明：
（1）设，，
则，
在上连续，在上可导.
又，
由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，
.
故方程在内至少有一个实根.
（2），在区间内有零点，
不妨设该零点为，则，.
由于，易知在和上连续，且在和上可导.
又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.
方程在上至少有两个不等实根和.
设，，则.
，.
当，即时，
，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去
当，即时，
，故在上单调递减.方程在上至多有
一个实根，不符合题意，舍去
当时，
由得，
时，有单调递减；
时，有单调递增.
在上的最小值.
注意到，则有.
方程在上至少有两个不等实根，
，解得.
结合，且，，
故的取值范围为.1
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