2025年中考数学一轮复习精品讲义第27讲 与圆有关的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157357295" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157357296" 考点一 点、直线与圆的位置关系
\l "_Tc157357297" 题型01 判断点和圆的位置关系
\l "_Tc157357298" 题型02 根据点和圆的位置关系求半径
\l "_Tc157357299" 题型03 判断直线与圆的位置关系
\l "_Tc157357300" 题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
\l "_Tc157357301" 题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
\l "_Tc157357302" 题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
\l "_Tc157357303" 题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
\l "_Tc157357304" 题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数
\l "_Tc157357305" 题型09 圆和圆的位置关系
\l "_Tc157357306" 考点二 切线的性质与判定
\l "_Tc157357307" 题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
\l "_Tc157357308" 题型02 利用切线的性质求线段长
\l "_Tc157357309" 题型03 利用切线的性质求角度
\l "_Tc157357310" 题型04 证明某条直线时圆的切线
\l "_Tc157357311" 类型一 由公共点：连半径，证垂直
\l "_Tc157357312" 类型二 无公共点：作垂直，证半径
\l "_Tc157357313" 题型05 利用切线的性质定理证明
\l "_Tc157357314" 题型06 切线的性质与判定的综合运用
\l "_Tc157357315" 题型07 作圆的切线
\l "_Tc157357316" 题型08 应用切线长定理求解
\l "_Tc157357317" 题型09 应用切线长定理求证
\l "_Tc157357318" 考点三 三角形内切圆与外接圆
\l "_Tc157357319" 题型01 判断三角形外接圆圆心位置
\l "_Tc157357320" 题型02 求外心坐标
\l "_Tc157357321" 题型03 已知外心的位置判断三角形形状
\l "_Tc157357322" 题型04 求特殊三角形外接圆的半径
\l "_Tc157357323" 题型05 由三角形的内切圆求长度
\l "_Tc157357324" 题型06 由三角形的内切圆求角度
\l "_Tc157357325" 题型07 由三角形的内切圆求周长、面积
\l "_Tc157357326" 题型08 求三角形的内切圆半径
\l "_Tc157357327" 题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
\l "_Tc157357328" 题型10 圆外切四边形模型
\l "_Tc157357329" 题型11 三角形内心有关的应用
\l "_Tc157357330" 题型12 三角形外接圆与内切圆综合
考点一 点、直线与圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
2. 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
3. 圆和圆之间的位置关系
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解．
2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上.
3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的.
4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧．
题型01 判断点和圆的位置关系
【例1】（2022·广东广州·统考一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P0,4与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定
【变式1-1】（2022·广东广州·统考一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（ ）
A．点A，点B都在⊙O上B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上D．点A，点B都在⊙O外
【变式1-2】（2022·江苏扬州·校联考一模）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O ．（填“上”、“内”、“外”）
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
【例2】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（ ）
A．45B．1C．75D．2.5
【变式2-2】（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
【变式2-3】（2022·上海静安·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 ．
题型03 判断直线与圆的位置关系
【例3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，csA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【变式3-1】（2023·江西南昌·统考一模）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【变式3-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【变式3-3】（2023·四川内江·威远中学校校考一模）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B2=2×1+（-1）×2+122+(-1)2=15=55．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y=3x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y=3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
【例4】（2023·重庆开州·统考一模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A．43B．32C．85D．3
【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点A4,3为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0