2022年高考数学第二轮复习解析几何教学案

这是一份2022年高考数学第二轮复习解析几何教学案，共16页。
第1课时 直线与圆
考纲指要：
直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。
圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。
考点扫描：
1．直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；（3）直线方程的五种形式。
2．圆的方程：（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程。
3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
考题先知：
例1．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 (90°≤＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
分析 欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值
解 建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值
由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acs,asin)、
(bcs,bsin),于是直线AC、BC的斜率分别为
kAC=tanXCA=,
于是
tanACB=
由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤,
当且仅当=x，即x=时，等号成立，
此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0),
因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳
点评：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来
例2．设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
分析： 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系
解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)
直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB，得m=－
由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0
所以y1y2=－4pa, x1x2=
所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2
所以
故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为，
代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
由OM⊥AB，得
M既在以OA为直径的圆 ……①上，
又在以OB为直径的圆 ……②上（O点除外），
①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
点评：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论
复习智略：
例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0) 一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)
(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明 y1·y2=－p2；
(2)求抛物线的方程；
(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由
分析：本题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度
解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知
光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，
设直线PQ的方程为y=k(x－) ①
由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2
当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2
(2)解 因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则
解得
直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，
由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知 y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,
得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x
(3)解 将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)
将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,
故N点坐标为(，－1)
由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,
设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)
又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称 。
点评：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键。

检测评估：
若直线按向量平移后与圆相切，则的值为( )
A．或B．或C．或D．或
2.如右图,定圆半径为，圆心为 (), 则直线
与直线的交点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
4. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5. 直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
6.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 .
7．过点交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB
最小时，直线l的方程为 .
8． 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________
9、在等差数列中，为首项，是其前项的和，将整理为
后可知：点（是正整数）
都在直线上，类似地，若是首项为，公比为的等比数列，
则点（是正整数）在直线________上
10. 实数满足，且，，那么的最小值为 ;
11 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0
(1)证明 {an}是等差数列
(2)证明 以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程
(3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围
12．某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
点拨与全解：
，即，由圆心到直线之距公式得得，选A。
2．从图知，且，两直线交点为，选C。
3.解：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数yx=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，yB。
4.解:与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A。
5.解析：如图所示：
图
由
消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C。
6.解：圆方程化为，所以由得
所以直线的倾斜角的取值范围是。
7．解：可证当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程，即
8 解析 设P(x,y)，依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0
9．由等比数列的求和公式得，所以在直线上。
10.解：M表示定点（-1，-3）与圆周上的点连线的斜率，设连线方程为，当时，即时有最小值。
11 (1)证明 由条件，得a1=S1=a,当n≥2时，
有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b
因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b
所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列
(2)证明 ∵b≠0,对于n≥2,有
∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上 此直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0
(3)解 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是

由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜－或r＞+
由不等式③，得r＜4－或r＞4+
再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+
故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是
(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)
设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切
建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则
|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5
∴点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为
=1 ①
同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为
(x－)2+y2=1 ②
由①、②可解得，
∴r=
故所求圆柱的直径为 cm
第2课时 圆锥曲线
考纲指要：
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
考点扫描：
1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
4．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；
5．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。
考题先知：
例1．在双曲线上有一个点P，F1、F2为该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
分析：根据题中条件，列出关于之间的等量关系，再求离心率。
解：由题意知：，，从而，故选D。
点评：上述题型在高考中常出现于选择与填空题中，考查学生对基本概念的掌握程度。
例2．已知抛物线上有两点A、B关于点M（2，2）对称。
求的取值范围；
当时，该抛物线上是否存在两点C、D，且A、B、C、D四点共圆？若存在，
求出此圆的方程；若不存在，请说明理由。
分析：在回答“是否存在”这类问题时，常可以先假设存在，然后从假设出发，只需找到一个符合条件的情况，即可说明其存在，“找”的过程，常从特殊情形入手。
解：（1）设、是抛物线上关于点M（2，2）对称的两点，则
，所以，从而可设
是方程的两个不等实根，由，
得.
（2）解法一：∵，∴抛物线上存在两点、关于M（2，2）对称，∴∴。∵抛物线的方程为，则A（0，0），B（4，4），∴直线AB的方程为,∴线段AB的中垂线方程为即，代入，整理得，即。由，可知线段AB的中垂线定与抛物线交于两点，不妨设此两点为，∴,∴，∴CD的中点N坐标为（6，-2），满足,∴A、B两点在以CD为直径的圆上。∴存在A、B、C、D四点共圆，且圆的方程为。y
x
N
O
A
B
C
D
解法二：∵，线段AB的中垂线方程为，∴可设圆心，，∴圆的方程为，将代入圆的方程，整理得∴∴或∴应有除以外的两根，∴, ,∴，且。所以存在，且的无数个圆满足条件。
解法三：∵点为圆与抛物线的交点，由解法2知，、是方程的两根，，∴∴，，∴直线CD为一组斜率为的平行线（图2），
y
x
N
O
A
B
C
D
D
C
设直线CD在轴上的截距为，则直线CD的方程为：，代入抛物线中，得,∵，∴，此时线段CD的中点为,∴线段CD的中垂线为与线段AB的中垂线的交点为圆心，当时满足横坐标，由，，得，当时，点C或点D与点A或点B重合，∴直线CD可为斜率为的一组的平行线，其在轴上的截距大于，不等于0或8，弦CD的中点在直线上。
点评：解法1 是通过寻找问题的特殊情况求解，表面看来，此题也已答完，通过解法2，使我们找到了求解问题的一般方法，实现了从特殊到一般的飞跃。解法3对问题的进一步挖掘、深化，使得直线、抛物线、圆三者的相对位置更加清晰、明朗。
复习智略：
例3．给定椭圆，是轴上的一个定点，直线：，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A、B在上的射影分别为A‘，B’，在轴上的射影分别为A“、B”，则
证明 根据椭圆的对称性，只需证情形.
(1)若,如图1,设,不妨设,则,又设直线AB的方程为,代入椭圆方程消去整理得
于是,,
所以
又因为
,所以
(2)若,如图2,设,不妨设,则,以下证明同(1)
综上所述,命题得证.
类比一： 给定双曲线，其余条件及结论，同上。
类比二： 给定抛物线 ，是轴上的一定点，直线：，过M任意引一条直线与抛物线交于A、B两点，其余条件及结论同上。
推论一：给定椭圆，是轴上的一个定点，直线：，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A、B在上的射影分别为A‘，B’，则
证明 如图形1,由Rt△AA”M∽△Rt△BB”M得 ,于是由例1得证.
推论二：设A、B是椭圆，长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A、B的横坐标满足，
若过A点的直线与这椭圆相交于P、Q两点，
则∠PBA=∠QBA；
（2）若过B点的直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA+∠QBA=1800；
证明：（1）如图形3，设，则，又设P、Q在在轴上的射影分别为P，，Q，，则由例1可得Rt△PP‘B∽△Rt△QQ‘B，于是∠PBA=∠QBA。同理可证结论（2）成立。
推论三： 给定椭圆，是轴上的一个定点，N是直线：与轴的交点，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，BC∥MN,点C在直线上 ,则直线AC平分线段MN.
证明:如图4,设A在直线上的射影为D,因为AD∥BC∥MN,则有,又,
(由推论1),所以,
即直线AC平分线段MN.
又由推论3不难推出如下结论:
推论四：给定椭圆，是轴上的一个定点，N是直线：与轴的交点，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A,B在直线上的射影分别为A’,B’,则直线A B’ ,B A’, MN相交于一点.
检测评估：
1．已知双曲线(a>0,b