山东省滨州市2024届高三下学期二模数学试卷(解析版)

这是一份山东省滨州市2024届高三下学期二模数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 16
【答案】C
【解析】由题意可得：，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为.
故选：C.
2. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，由，可得，故A错误；
对于B，由，，，可得，故B错误；
对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，
即，故D正确.
故选：D.
3. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
4. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，相互独立
B. 若，相互独立，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A：因为，所以与不独立，故A错误；
对于B：若，相互独立，则，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：D
5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A. 4B. 1C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，则，
所以.故选：A
6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ）
A. 42种B. 40种C. 36种D. 30种
【答案】B
【解析】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为，
所以不同的安排方案共有（种）.故选：B.
7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ）
A. 1B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为四边形为正方形，可知，
若使得四边形为正方形的点有且只有一个，可知，
则，解得或（舍去），
所以正实数.故选：C.
8. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.故选：C.
二、多项选择题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量X，Y满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强
D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确；
对于D，由，依题意，，且，
解得，因此，D正确.故选：BCD.
10. 图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）

A.
B. 到直线的距离为
C. 三棱锥外接球的半径为
D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对于A：翻折前，，
翻折后则有，，
因为，、平面，
所以平面，平面，所以，
故A正确；

对于B：又，即为等边三角形，所以，
在平面中过点作，则，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
令，，所以到直线的距离为，故B错误；
对于C：所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
因为平面，所以，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故C正确；
对于D：由，设直线与直线所成角为，，
则
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故D错误.
故选：AC.
11. 已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的纵坐标为B.
C. D. 双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为A，B关于原点对称，，，
设，，
因为，所以，，
解得：，，，故A正确；
对于B，因为，
所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为三点共线，，，，
所以，则，故C错误；
对于D，因为，在双曲线上，
所以，，
，
因为，即，
其中，
所以，所以，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________．
【答案】5
【解析】由题意可知：抛物线的准线为，
设，
联立方程，消去x得，
则，可得，
所以.
故答案为：5.
13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数，求导得，由在上单调递减，
得，，即，令，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，解得，
所以的取值范围是.故答案为：
14. 已知函数，数列满足，，，则__________．
【答案】2
【解析】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上奇函数；且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.故答案为：2.
四、解答题
15. 如图，在多面体中，，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线DN与平面MNC所成角的正弦值．
（1）证明：连接，由，，得，则，
，
于是，
又，平面，
因此平面，
又，
所以平面.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，而，
，
所以直线DN与平面MNC所成角正弦值是．
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．
解：（1）因为为等差数列，则，即，
可得，，所以.
（2）因为在与之间插入个3，
可知在数列中对应的项数为
，
当时，则，即；
当时，则，即；
由题意可知：，
所以.
17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表：
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（1）从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在内的概率；
（2）分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内，求的分布列和数学期望；
（3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，．比较方差的大小，并说明理由．
解：（1）记“第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在内”为事件A，所以.
（2）记“从第组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内”为事件，由题意可知：，
且的可能取值有0，1，2，3，则有：
；
；
；
；
所以的分布列为
的期望.
（3）由题意可知：均服从两点分布，则有：分布列为：
可得的方差；
的分布列为：
可得的方差；
的分布列为：
可得的方差；
因为，所以.
18. 已知点,圆,动点A满足.记A的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过点作倾斜角互补的两条直线，设直线的倾斜角为，直线与曲线交于M，N两点，直线与圆交于P，Q两点，当四边形的面积为时，求．
解：（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，
则，若三点不共线，
则，
因为，
即，
整理得，
可知，
可知：A的轨迹是以为焦点的椭圆（除去长轴顶点）；
经检验可知：也符合题意；
综上所述：A的轨迹是以为焦点的椭圆，
则，
所以的方程为.
（2）由题意可知：直线与曲线必相交，直线与圆必相交，
设直线的方程，
联立方程，消去y可得，
则，
可得，
因为直线过圆心，则，
且P，Q两点到直线MN的距离相等，
又因为直线的倾斜角为，则，且，
可知点P到直线MN的距离
，
则四边形的面积为，
解得或，
所以或.
19. 定义：函数满足对于任意不同的,都有，则称为上的“类函数”．
（1）若，判断是否为上的“2类函数”；
（2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
（3）若为上的“2类函数”,且,证明：,,．
（1）解：对于任意不同的，不妨设，即，
则，
所以为上的“2类函数”.
（2）解：因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由，可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
（3）证明：（i）当，可得，符合题意；
（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，
①若，则；
②若，
则
；
综上所述：，，.株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花样本株数
4
10
4
2
第2组鸡冠花样本株数
3
8
8
1
第3组鸡冠花样本株数
7
5
7
1
0
1
2
3
0
1
0
1
0
1