湖北省咸宁市2024年中考一模数学试卷(解析版)

这是一份湖北省咸宁市2024年中考一模数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中午气温比早晨的气温上升了，
∴，
∴中午的气温是．
故选：A．
2. 下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项符合题意；
B、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故选项符合题意；
C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
不等式的解集在数轴上表示如下图所示，
故选：C．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】A．无意义，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 恰好是白球是不可能事件B. 恰好是黑球是随机事件
C. 恰好是红球是必然事件D. 恰好是红球是不可能事件
【答案】B
【解析】A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；
B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意；
C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；
D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
6. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，与位似，原点O是位似中心，且，
即与的相似比为，
又∵，
∴点的坐标为，即点的坐标为．
故选：D．
8. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最新人体构造学的研究成果，一般情况下人的指距（单位：）和身高（单位：cm具有一定的对应关系．下表是指距与身高的一组对应数据：
若小涵身高是，他的指距是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据表格中数据，每增加，身高增加，故与是一次函数关系，
设这个一次函数的解析式是：，
，
解得，
一次函数的解析式是：，
当时，由
解得：．
即可预测他的指距为，
故选：B．
9. 如图，是的直径，点C是上半圆上一点，将沿着弦翻折后恰好经过的中点D，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示，连接、、，过点C作于点E，
∵对应圆周角，对应圆周角，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
10. 已知抛物线经过点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③是关于的一元二次方程的一个根；④点，在抛物线上，当，时，则．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵抛物线经过点，对称轴为直线．
∴抛物线的顶点在x轴下方，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线经过点，对称轴为直线．
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴是关于的一元二次方程的一个根，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线．
又∵，
∴点和点不可能在对称轴左侧，
当点和点在对称轴右侧时，
∵，
∴y随x增大而增大，
∵，
∴；
当点和点在对称轴两侧时，
∵，
∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
∵，
∴
∴
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
又∵，
∴抛物线开口向上，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④，共4个，故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是_____．
【答案】5
【解析】设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
故答案：5．
12. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 甲乙两人从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是_____．
【答案】
【解析】画树状图为：（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”）
共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故答案为：．
14. 已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是_____．
【答案】3
【解析】对于反比例函数，当时，的最小值为，
当时，，
即，
对于反比例函数，当时，的最小值为，
当时，，
，
解得，
．
故答案为：3．
15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是小正方形的面积的13倍，连接并延长交于M，则的值是_____．
【答案】
【解析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
则，
，
四个直角三角形全等，
，
在中，利用勾股定理得，，即，
，
整理得，即，
，（舍去），
，，
延长交于N，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：原式．
17. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接交于点，证明：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点测得乙建筑物C点的俯角β是，D点的俯角a是，BC是两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD是，求甲建筑物的高度．（，，，结果保留整数）．

解：如图，过点D作于点E．

则，，
在中，，
设，则，
，
在中，
，
解得，
．
答：甲建筑物的高度是．
19. 某学校组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“ 敬老服务”“ 文明宣传”“ 交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，随机调查了参加志思者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的师生共有_____人，“敬老服务”对应的圆心角度数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
解：（1）由条形图得到“清洁卫生”的人数为60人，由扇形图得到“清洁卫生”的人数的比例为，
∴调查的总人数为：人，
从条形图可以得到“敬老服务”的人数为：120人，
∴“敬老服务”对应的圆心角度数：；
故答案为：300，
（2）“文明宣传”的人数为：人，
补全图形如下：
（3）∵（人）．
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数为360人．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．

（1）求，的值，并直接写出不等式的解集；
（2）点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标．
解：（1）将代入得：，解得，
由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的下方，
不等式的解集为或；
（2）将代入得：
，解得，
，
设交轴于，点的坐标为，则，

则，
解得，
点的坐标为或．
21. 如图，是的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足是，交于，连接．
（1）证明：平分；
（2）若，，求阴影部分的面积．
解：（1）连接，
∵是的切线，
∴，
∴
∵于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）连接，过作于，则，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
解得，则，
∴．
22. 某商场在销售A产品的过程中发现：每天的销售件数y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件），销售A产品的成本z（单位：元）与销售价格x（单位：元/件）都满足一次函数关系，并且A产品的市场销售单价在20元到40元之间，每天的销售利润为w元．下表记录了该商场某四天销售A产品的数据．（销售利润＝售价销量成本）
（1）分别写出与，与，与之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）；
（2）求某天的利润是132元时的成本；
（3）当销售价格为多少元时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设与之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
与之间的函数关系式为；
设与之间的函数关系式，由题意得：
，
解得：，
与之间的函数关系式；
由题意得：
；
（2）当时，，
解得：，
销售单价在20元到40元之间，即，
，
把代入，
，
利润是132元时的成本是48元；
（3），
，
当时，W取最小值196，
销售价格为26元时，一天的销售利润最大，最大利润是196元．
23. 问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；
拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．
解：问题背景：证明：，
，
即，
，
；
尝试应用：解：等边三角形；证明如下：
取中点P，连接，如图，
，，
，，，
是等边三角形，
；
，
；
为的中点，中点为P，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
拓展创新：解：如图，过C作，垂足为C，且，连接，
则；
由旋转知，，
；
，
；
，
，
，
；
取的中点G，连接，则；
点是的中点，
，
由勾股定理得：，
，
即，
的最大值为6．
24. 如图（1），抛物线与轴交于，B两点，与y轴交于C，顶点．
（1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标；
（2）直线交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线于点G，若，求t的值；
（3）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当是锐角三角形时，求m的取值范围．
解：（1）∵抛物线的顶点为，
∴设，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
当时，
，
解得（舍去）或；
当时，，
∴，；
（2）设直线的解析式为，
将点，代入，
得，解得，
∴，
设对称轴交直线于点H，交直线于T，
则，，
①如图（1），时，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
故，
代入抛物线解析式得：，
解得：，（舍去）；
②如图（2），当时，
∵，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
即，
代入抛物线得，
解得，（舍去）；
∴t的值为 或 .
（3）①如图3，当时，连接，设对称轴交 x 轴于P，过 D 作 轴于N，
则，
故，
∵，
∴，
即点M与D重合时，
是直角三角形，
此时；
当时，
过作轴于 L，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
经检验这都是所列方程的解，但，舍去，
∴，
∴当是锐角三角形时， ；
②如图4，当时， 当时，过作轴于K，
∵，，
∴，∴，∴，
解得：，，
经检验这都是所列方程的解，但，舍去，
∴，当时，，
即 ，故当是锐角三角形时，，
综上所述，当是锐角三角形时，，或．指距
身高
销售价格（元/件）
20
25
30
35
销售件数（件）
20
15
10
5
成本（元）
240
180
120
60