第18讲 三角恒等变换（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

这是一份第18讲 三角恒等变换（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共7页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略，会解三角函数的含参问题，升幂与降幂公式等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分
【备考策略】1.理解、掌握三角函数的两角和差公式，能够根据知识点灵活选择公式
2.能掌握凑角求值的解题技巧
3.具备数形结合的思想意识，会借助正弦型函数的图像，解决三角函数的求值与化简问题
4.会解三角函数的含参问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给与正余弦定理结合，在解三角形中灵活运用两角和差。
知识讲解
知识点.两角和与差二倍角公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
sin(α－β)＝sinαcs β－csαsinβ sin(α＋β)＝sinαcs β＋csαsinβ
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
2．二倍角公式
sin 2α＝2sinαcsα；cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
辅助角公式：
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4．三角函数公式的关系
5.升幂与降幂公式
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
（2）升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
（3）公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
考点一、两角和与差的正余弦、正切与二倍角公式
1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sinαsinα+π6=csαsinπ3-α，则tan2α+π4=（ ）
A．2-3B．-2-3C．2+3D．-2+3
2.（2024·浙江·三模）若sinα-β+csα-β=22sinα-π4sinβ，则（ ）
A．tanα-β=-1B．tanα-β=1
C．tanα+β=-1D．tanα+β=1
1.（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，csα=1+54，则sinα2=（ ）．
A．3-58B．-1+58C．3-54D．-1+54
2.（2024·青海海西·模拟预测）已知csα=-33，则cs2α的值为（ ）
A．13B．23C．-15D．-13
3.（2024·全国·高考真题）已知cs(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cs(α-β)=（ ）
A．-3mB．-m3C．m3D．3m
4.（2024·江西九江·三模）若2sinα+π3=csα-π3，则tanα-π6=（ ）
A．-4-3B．-4+3C．4-3D．4+3
考点二、化简求值
1.（2024·安徽六安·模拟预测）2cs65°cs15°tan15°cs10°+sin10°的值为（ ）
A．2+32B．12C．2-32D．32
2.（2024·陕西安康·模拟预测）若sinα-20∘=sin20∘tan20∘-3，则sin2α+50∘=（ ）
A．18B．-18C．-78D．78
1.（2024·全国·模拟预测）sin80°+cs50°sin25°-62tan25°=（ ）
A．62B．52C．32D．22
2.（2024·山东泰安·模拟预测）若1+tan（θ-π4）1-tan（θ-π4）=12 ， 则sin2θ的值为（ ）
A．-35B．35C．-45D．45
3.（2024·广东·二模）tan7.5°-tan82.5°+2tan15°=（ ）
A．-2B．-4C．-23D．-43
4.（2024·河北承德·二模）已知tanx=13，则sinxcs3xcs2x+sinxcs2xcsx= .
5.（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正边边形，设∠CAD=α，则csα+cs2α+cs3α+cs4α= ，csαcs2αcs3αcs4α= ．

考点三、凑角求值
1.（2024·辽宁·模拟预测）已知sinα+π6=14，则sin2α+5π6= .
2.（23-24高三上·天津宁河·期末）已知csπ12-θ=13，则sin2π3-2θ= ．
1.（2024·吉林长春·模拟预测）已知cs2α=-55，sinα+β=-1010，α∈0,π2，β∈-π2,0，则α-β=（ ）
A．π4B．3π4C．5π4D．π4或3π4
2.（2024·山西·三模）若sin2α=33,sinβ-α=66，且α∈π4,π,β∈π,3π2，则csα+β=（ ）
A．5+26B．306C．63D．25-26
3.（2024高三·全国·专题练习）已知tanα-β=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β=（ ）
A．-3π4B．π4C．3π4D．-π4
4.（2024·山东·模拟预测）已知csα-π3-csα=45，则sin2α+π6=（ ）
A．725B．-725C．2425D．-2425
5.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知csπ5-α=13，则sin11π10+2α=（ ）
A．79B．-79C．429D．-429
考点四、辅助角公式
1.（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数fx=2sinx+csx在x0处取得最大值，则csx0=（ ）
A．255B．-255C．55D．-55
2.（2024·陕西铜川·三模）已知函数fx=sin2x-cs2x，则下列说法中不正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为π
B．fx的最大值为2
C．fx在区间-π4,π4上单调递增
D．fx-π8=f-x-π8
1.（2024·湖北·二模）函数fx=3csx-4sinx，当fx取得最大值时，sinx=（ ）
A．45B．-45C．35D．-35
2.（2024·四川成都·模拟预测）函数f(x)=asinx+csx的图象关于直线x=-π6对称，则a=
3.（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=sinωx-3csωx(ω>0)，若存在x1∈[0,π]，使得f(x1)=-2，则ω的最小值为 .
4.（2024·全国·模拟预测）已知fx=4sinxsinx-3csx+1相邻的两个零点分别为x1,x2，则csx1-x2= .
5.（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数f(x)=2cs2ωx+sin2ωx-1(ω>0)fx1=fx2=22,x1-x2的最小值为2π3，则ω=（ ）
A．12B．1C．2D．3
1．（22-23高三上·天津滨海新·期中）若α是第三象限角，且sinα+βcsβ-sinβcsα+β=-513，则tanα等于（ ）
A．-5B．-512C．512D．5
2．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）已知tan(α-π4)=4 ，则sin2α=（ ）
A．217B．-217
C．1517D．-1517
3．（23-24高三上·天津南开·期中）已知sinα-π6=sinα+π3，则tanα= ．
4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）△ABC中，已知cs2A=45，则sinA= ．
5．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知角θ的终边经过点P-2,1，则tanθ= ，cs2θ-2sin2θcs2θ= .
6．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知tanα=13，tanβ=-17，且α,β∈0,π，则2α-β= ．
7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知2sinα+csα=0.
(1)求tanα-π4的值；
(2)求sinπ2-αsinπ+α的值；
(3)当α是第四象限角时，求csα+π3的值.
1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知tanθ+π4=-3，则sin3π2+θ+csπ+θsinπ-θ-sinπ2+θ等于（ ）
A．23B．0C．-2D．2
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）函数 fx=sinx+3csx在区间 0,π2上的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．2
3．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）锐角α，β满足α+2β=2π3，tanα2tanβ=2-3，则α和β中的较小角等于 ．
4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若tanα=-csα3+sinα，则sin2α+π2= ．
5．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）已知函数fx=sinx+π6+sinx-π6+csx+a的最大值为1，
(1)求常数a的值；
(2)求函数fx的单调递减区间；
6．（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=2csω2xsinω2x-π3+32,ω>0，fx图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求fx的单调递减区间；
(2)若f(θ2)=-35，且θ∈[-π6,5π6]，求sin(θ-5π6)的值．
7．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数f(x)=sin(2x-π6)-cs2x，x∈R.
(1)求函数fx的最小正周期；
(2)求函数fx的对称轴方程；
(3)求函数fx在[0,π2]上的单调区间.
1.（2024·全国·高考真题）已知csαcsα-sinα=3，则tanα+π4=（ ）
A．23+1B．23-1C．32D．1-3
2.（2022·全国·高考真题）若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α-β)=1B．tan(α+β)=1
C．tan(α-β)=-1D．tan(α+β)=-1
3.（2023·全国·高考真题）已知sinα-β=13,csαsinβ=16，则cs2α+2β=（ ）．
A．79B．19C．-19D．-79
4.（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)= .
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第14题,5分
用和、差角的余弦公式化简、求值 二倍角的正弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形