2025年中考数学一轮复习：圆的切线问题 练习题汇编（含答案）

这是一份2025年中考数学一轮复习：圆的切线问题 练习题汇编（含答案），共26页。试卷主要包含了如图，内接于，在中，为直径，为上一点等内容，欢迎下载使用。
1．如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
2．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C．
(1)求证：是的切线；
(2)若交直线于点D，交于另一点F．
①求证：；
②若，求的半径．
3．如图，在中，，点O在上，过点A和点B．

(1)求证：是的切线；
(2)点D是上一点，，求的长．
4．如图，内接于．
(1)若，的半径是2，求的长；
(2)过A点作的切线，求证：．
5．如图，点是以为直径的上的一点，过点作的切线，交的延长线于点，点是的中点，连接并延长与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
7．在中，为直径，为上一点．

(1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；
(2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小．
8．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．

(1)求证：是的切线；
(2)若点A、D的坐标分别为，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求的长；
(4)试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
9．如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
10．如图，是的内接三角形，是的直径，点在的延长线上，且．
(1)证明：直线是的切线：
(2)若的半径是4，求的长．
11．如图，内接于，直径AB交CD于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求DE的长；
②求的半径．
12．如图，是的内接三角形，AB边上的中线经过点O，过点D作交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
13．在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
14．如图，在中，，点F是边上一点，以为直径的与边，分别相交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
15．如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弓形的面积（结果保留）；
(3)若，，求的长．
参考答案：
1．（1）解：连接，
直线切于点C，
，
，
．
，
．
，
，
，
是的切线；
（2）解：延长交于点E，连接．作于点G，
为的直径，
．
，
四边形为矩形，
．
是的切线，
，
．
，
，
，
矩形为正方形．
延长交于点M，
，
，
，
．
设，则．
，
，
．
在中，，
解得：（舍去），
．
2．（1）证明：连接，．
是的切线，
，
，
，，，
，
，
，
是的切线；
（2）①证明：连接．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
②解：，，
，
，
，，，
，设，
在中，，
，
，
的半径为5．
3．（1）解：连接．
，
．
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线．
（2）解：延长交于点E，连接．
是的直径，
．
，
，
∴、、三点共线.
设，
，，，
则，
，
解得，（不符合题意舍去），
，
，．
在和中，
,
，
．
4．（1）解：如图1，连接，则，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为；
（2）证明：如图1，连接，
∵过A点作的切线，
∴，则，
同理（1），
∵，
∴，
∴，
∴．
5．（1）证明：如图，连接，，
为的直径，
，
在中，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
即，
半径，
为的切线；
（2）解：，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在，
，
∴，
∴在，
，
∵AB是的直径，
∴，
∴在，
．
7．（1）解：如图，连接，

∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：∵为的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
8．（1）证明：连接，
∵是直角三角形，为斜边，
∴，
∵平分交边于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴是的切线．
（2）解：连接，
∵点、的坐标分别为，，
∴，，
设的半径为，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为．
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；

（4）解：，证明如下：
由（3）得，四边形是矩形，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．（1）连接、，
∵为直径，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
10．（1）证明：是直径，
，
，
，
，即，．
又是半径，
是的切线．
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
．
11．（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
12．1）证明：如图，连接，
∵，点C为AB的中点，
∴，即．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵点C为AB的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即．
设，则．
在中，
∵，
∴，
解得，（舍去）．
则．
即的半径为．
13．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
14．（1）证明：连接．
，
．
又，
．
又，，
．
．
．
又，
．
．
又是半径，
是的切线．
（2）解：过点O作于点G．

则为直角三角形．
设的半径为r．
在中，
，则．
同理，在中，，则
，
解得：
为等边三角形
又
为等边三角形
在中，
15．（1）证明：连接交于点，则，
，
交的延长线于点
是的切线；
（2）连接，
由（1）可知，垂直平分
，
弓形的面积为；
（3）作于点，则
由（1）可知
又
，
四边形是矩形
，
于点
是直径
的长是．