北京市中国科学院附属实验学校2024-2025学年高一上学期9月质量监测数学试卷（Word版附解析）

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姓名：__________ 班级：__________
一、单选题（本大题共40分，每小题4分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义运算即可.
【详解】由题意可知.
故选：D
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】由于特称命题的否定为全称命题，
故命题“”的否定为“”
故选：A．
3. 已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. 或x>5
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求得集合，结合韦恩图求得正确选项.
【详解】，
，
韦恩图表示.
故选：C
4. 下列各式：①；②；③；④，其中错误的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.
【详解】由元素与集合的关系可知正确，不正确，
由集合之间的关系知正确，
由集合中元素的无序性知正确，
故错误的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了元素与集合关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.
5. 已知，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】变形为，再根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由于，故，所以，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4.
故选：B
6. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.
【详解】解:由题知,
不妨取
则有,
,
故选项A,B错误;
关于选项C,
不妨取
,
故选项C错误;
关于选项D,
,
,
故选项D正确.
故选:D
7. 设，则“”是“”
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
8. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，或，
所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系.
【详解】∵集合，
，
∴.
故选：B.
10. 已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先理解新定义，再根据新定义计算即可.
【详解】∵，，
∴，，
∴，其中有个元素，故选D.
二、填空题（本大题共30分，每小题5分）
11. 不等式的解集为______________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】由，得，
所以或，
故不等式得解集为或．
故答案为：或．
12. 已知不等式的解集是，则__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：方程的两根为，
则，解得，
故答案为：；.
13. 已知集合，，则集合B的子集共有________个．
【答案】8
【解析】
【分析】利用集合的定义及子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，当时，；,
当时，或；或，
所以，
所以集合B的子集共有个.
故答案为：.
14. 能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.
【详解】若不等式在上恒成立，则，
解得，
所以该命题为假命题时实数的取值范围是，
所以实数的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）.
15. 设全集为，集合，，则下列四个命题中正确的是______．
①；②；③；④
【答案】②③④
【解析】
【分析】集合为非负偶数集，为非负的四的倍数的集合，通过集合间的运算即可得出结论.
【详解】 全集，由于集合是非负偶数集，
集合是非负的四的倍数的集合，
真包含，
，① 错误；，② 正确；，③ 正确；，④ 正确.
故答案为：②③④.
16. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】 ①. 130. ②. 15.
【解析】
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
三、解答题（本大题共50分）
17. 解关于不等式.
（1）;
（2）
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.
【小问1详解】
不等式，即，解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
不等式，即，解得或，
所以不等式的解集为；
【小问3详解】
不等式，
当时，解集为或，
当时，解集为或，
当时，解集为.
18. 已知集合.
（1）若，求；
（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.
条件①：条件②：.
【答案】（1）或，，；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1），求出集合B，进行交并补运算即可；
（2）选①，分类讨论处理子集关系即可，选②，转化为子集关系，布列不等式组，解之即可.
【小问1详解】
集合
所以或，，；
【小问2详解】
选①：.
若，则，
解得;
若，则，解得；
综上得，；
选②：，则，
则，无解，
即实数m不存在.
19. 设集合，集合.
（1）若，求；
（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简集合，即得解；
（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.
【详解】（1）.
因为，所以，
因此；
（2），，
因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
因此有，解得.
【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：

（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
【答案】（1），
（2）x为30时，y取最大值为1215
（3）
【解析】
【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；
（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；
（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
（2）由（1），，又，
所以，
当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当为30时，取最大值为1215.
（3）养殖池的面积不小于1015平方米即
所以，解得
故的取值范围为.