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2024-2025学年江苏省盐城市五校联盟高一（上）第一次学情调研数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江苏省盐城市五校联盟高一（上）第一次学情调研数学试卷（10月份）（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|−1A. {x|−12.不等式(x−1)(x−3)≤0的解集是( )
A. (−∞,1)∪(3,+∞)B. (−∞,1]∪[3,+∞)
C. (1,3)D. [1,3]
3.命题p：∀x>2，x2−1>0，则￢p是( )
A. ∀x>2，x2−1≤0B. ∀x≤2，x2−1>0
C. ∃x>2，x2−1≤0D. ∃x≤2，x2−1≤0
4.若a∈R，则a=2是(a−1)(a−2)=0的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下列结论正确的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若ab>0，a>b，则1a<1b
C. 若a>b，c>d，则a−c>b−dD. 若a>b，m>0，则b+ma+m>ba
6.已知t>0，则函数y=t2−4t+1t的最小值为( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
7.设集合A={x|2a5}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为( )
A. [−32,+∞)B. (−32,+∞)C. (−∞,−32]D. (−∞,−32)
8.若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4A. (−1,4)B. (−4,1)
C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A={x|x2−5x+4=0}，B={x|ax−1=0}，若A∪B=A，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 14C. 4D. 1
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“若x<1，则x2<1”的是真命题
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.若a，b均为正数，且满足2a+b=4，则( )
A. ab的最大值为2B. (a+1a)(b+1b)的最小值为4
C. 4a+ab的最小值是4D. a2+b2的最小值为165
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2x−4的零点为______．
13.已知集合A={1,3, m}，B={1,m}，若B⊆A，则m= ______．
14.设m，n为正数，且m+n=2，则2m+3m+1+3n+7n+2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−1≤x≤4}，B={x|x<1或x>5}．
(1)若全集U=R，求A∪B、(∁UA)∩B；
(2)若全集U=Z，求A∩(∁UB)．
16.(本小题15分)
已知不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}．
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0．
17.(本小题15分)
设全集U=R，集合A={x|−2≤x≤5}，非空集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)=20x+5(x>0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？
19.(本小题17分)
已知a>0，b>0，且a+b=2，证明：
(1)a2b+ab2≤2；
(2)a3+ba+1+b3+ab+1≥2．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.2
13.0或3
14.295
15.解：(1)由题意可得，A∪B={x|x≤4或x>5}，
又∁UA={x|x<−1或x>4}，
则(∁UA)∩B={x|x<−1或x>5}；
(2)根据题意，且U=Z，则可得∁UB={1,2,3,4,5}，
则A∩(∁UB)={1,2,3,4}．
16.解：(1)因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，
所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，
根据韦达定理有1+2=3a，1×2=b−4a，解得a=1，b=6．
(2)由(1)可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0，
当c>2时，不等式的解集为{x|2当c=2时，不等式的解集为⌀，
当c<2时，不等式的解集为{x|c17.解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，
则−1−2a≤−25≤a−2，等号不能同时取到，
所以a≥7，即a的取值范围为{a|a≥7}；
(2)命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，所以B⊆A，
因为B≠⌀，则a−2≥−1−2a−1−2a≥−2a−2≤5，解得13≤a≤12，
∴a的取值范围为{a|13≤a≤12}．
18.解：(1)由题意得y=0.2x+80x+5，x>0，
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x+80x+5≤7.2，解得11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11,20]．
(2)y=0.2x+80x+5=x+55+80x+5−1≥2 x+55⋅80x+5−1=7，
当且仅当x=15时，等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
19.证明：(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2ab，
因为a>0，b>0，2=a+b≥2 ab，则0所以a2b+ab2≤2；
(2)a3+ba+1+b3+ab+1=a3+(2−a)a+1+b3+(2−b)b+1=(a3−a)+2a+1+(b3−b)+2b+1
=a(a+1)(a−1)+2a+1+b(b+1)(b−1)+2b+1=a2+b2−a−b+2a+1+2b+1
=a2+b2+2(1a+1+1b+1)−2=(a+b)2−2ab+2(a+b+2)(a+1)(b+1)−2
=8ab+a+b+1−2ab+2=8ab+3−2ab+2，
由(1)有0有8ab+3−2ab+2≥8×14−2+2=2，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以a3+ba+1+b3+ab+1≥2．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|−1
A. (−∞,1)∪(3,+∞)B. (−∞,1]∪[3,+∞)
C. (1,3)D. [1,3]
3.命题p：∀x>2，x2−1>0，则￢p是( )
A. ∀x>2，x2−1≤0B. ∀x≤2，x2−1>0
C. ∃x>2，x2−1≤0D. ∃x≤2，x2−1≤0
4.若a∈R，则a=2是(a−1)(a−2)=0的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下列结论正确的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若ab>0，a>b，则1a<1b
C. 若a>b，c>d，则a−c>b−dD. 若a>b，m>0，则b+ma+m>ba
6.已知t>0，则函数y=t2−4t+1t的最小值为( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
7.设集合A={x|2a
A. [−32,+∞)B. (−32,+∞)C. (−∞,−32]D. (−∞,−32)
8.若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4
C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A={x|x2−5x+4=0}，B={x|ax−1=0}，若A∪B=A，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 14C. 4D. 1
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“若x<1，则x2<1”的是真命题
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.若a，b均为正数，且满足2a+b=4，则( )
A. ab的最大值为2B. (a+1a)(b+1b)的最小值为4
C. 4a+ab的最小值是4D. a2+b2的最小值为165
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2x−4的零点为______．
13.已知集合A={1,3, m}，B={1,m}，若B⊆A，则m= ______．
14.设m，n为正数，且m+n=2，则2m+3m+1+3n+7n+2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−1≤x≤4}，B={x|x<1或x>5}．
(1)若全集U=R，求A∪B、(∁UA)∩B；
(2)若全集U=Z，求A∩(∁UB)．
16.(本小题15分)
已知不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}．
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0．
17.(本小题15分)
设全集U=R，集合A={x|−2≤x≤5}，非空集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)=20x+5(x>0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？
19.(本小题17分)
已知a>0，b>0，且a+b=2，证明：
(1)a2b+ab2≤2；
(2)a3+ba+1+b3+ab+1≥2．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.2
13.0或3
14.295
15.解：(1)由题意可得，A∪B={x|x≤4或x>5}，
又∁UA={x|x<−1或x>4}，
则(∁UA)∩B={x|x<−1或x>5}；
(2)根据题意，且U=Z，则可得∁UB={1,2,3,4,5}，
则A∩(∁UB)={1,2,3,4}．
16.解：(1)因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，
所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，
根据韦达定理有1+2=3a，1×2=b−4a，解得a=1，b=6．
(2)由(1)可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0，
当c>2时，不等式的解集为{x|2
当c<2时，不等式的解集为{x|c
则−1−2a≤−25≤a−2，等号不能同时取到，
所以a≥7，即a的取值范围为{a|a≥7}；
(2)命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，所以B⊆A，
因为B≠⌀，则a−2≥−1−2a−1−2a≥−2a−2≤5，解得13≤a≤12，
∴a的取值范围为{a|13≤a≤12}．
18.解：(1)由题意得y=0.2x+80x+5，x>0，
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x+80x+5≤7.2，解得11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11,20]．
(2)y=0.2x+80x+5=x+55+80x+5−1≥2 x+55⋅80x+5−1=7，
当且仅当x=15时，等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
19.证明：(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2ab，
因为a>0，b>0，2=a+b≥2 ab，则0
(2)a3+ba+1+b3+ab+1=a3+(2−a)a+1+b3+(2−b)b+1=(a3−a)+2a+1+(b3−b)+2b+1
=a(a+1)(a−1)+2a+1+b(b+1)(b−1)+2b+1=a2+b2−a−b+2a+1+2b+1
=a2+b2+2(1a+1+1b+1)−2=(a+b)2−2ab+2(a+b+2)(a+1)(b+1)−2
=8ab+a+b+1−2ab+2=8ab+3−2ab+2，
由(1)有0
所以a3+ba+1+b3+ab+1≥2．
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