高考数学核心考点专题训练专题12利用导数研究闭区间上函数的最值(原卷版+解析)

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这是一份高考数学核心考点专题训练专题12利用导数研究闭区间上函数的最值(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
已知函数f(x)=lnx,x>0x+2,x⩽0,，若f(m)=f(n)且nA. 2B. 3C. e2−1D. e2
某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
已知函数f(x)=−x2−3x−1，g(x)=ex+ex2ex，实数m，n满足mA. 1B. 3C. 23D. 5
已知函数f(x)=lnxx，下列结论不正确的是( )
A. f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减
B. f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x−1
C. f(2)>f(3)
D. f(x)在(0,+∞)上有最大值
设函数f(x)=12x2−ln|x|−ax+4a，其中a<0，若仅存在一个整数x0，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围是( )
A. [−16,−110)B. [−13+16ln2,−110)
C. (−16,−110]D. (−13+16ln2,−110]
已知函数f(x)=aexx(a>0)，下面描述正确的是
A. f(x)在R上单调递增
B. f(x)无极值点
C. 当a=2时，函数f(x)在[1,2]上有最小值e
D. 若f(x)≥1对任意x∈(0,+∞)恒成立，则a≥1e
已知函数f(x)=ex−e−x，g(x)=csx+12x2−ax，对于任意x1,x2∈[−π2,π2]且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)>0，则实数a的最大值是( )
A. π2B.
C. 1−π2D. 1
第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f'(x)+f(x)x=1x2，且f(e)=2e，e为自然对数的底数，若关于x的不等式f(x)x−x−ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围为
A. [1,+∞)B. [2,+∞)
C. [e+2e,+∞)D. [−e3+2e2+2e,+∞)
二、填空题
若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
已知函数f(x)=a−x2(0已知a>1，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____．
某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________．
三、解答题
已知函数f(x)=lnx−ax+3,a∈R．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

已知f(x)=−ex+ex(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；
(Ⅱ)设g(x)=lnx+12x2+ax，若对任意x1∈(0,2]，总存在x2∈(0,2].使得g(x1)

已知函数f(x)=2x2+xlna，g(x)=ae2xlnx，其中a>0．
(I)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0，求a的值；
(II)若对任意的x∈(0,1)，不等式g(x)−f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=lnx−ex+(ea−1)x+a(a∈R)．
(1)当a=0时，证明不等式f(x)+2<0；
(2)若不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

专题12 利用导数研究闭区间上函数的最值
一、单选题
已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
【答案】B
【解答】解：f'(x)=x2+2mx+n，
要使导函数f'(x)为偶函数，则m=0，
故f(x)=13x3+nx+2，
则f(1)=13+n+2=−23，解得n=−3，
所以f'(x)=x2−3，
故g(x)=ex(x2−3)，g'(x)=ex(x2−3+2x)=ex(x−1)(x+3)，
当x∈[0,1)时，g'(x)<0，当x∈(1,2]时，g'(x)>0．
所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，
所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e×(1−3)=−2e．
故选B．
已知函数f(x)=lnx,x>0x+2,x⩽0,，若f(m)=f(n)且nA. 2B. 3C. e2−1D. e2
【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=lnx,x>0x+2,x⩽0,f(m)=f(n)且n所以n+2=lnm，则n=lnm−2m>0，
所以m−n=m−lnm+2，
设gm=m−lnm+2，则g'm=1−1m=m−1m，
所以当m>1时，g'm>0，则gm单调递增，
当0所以当m=1时，函数g(m)取得最小值为g1=1−ln1+2=3，
即m−n的最小值为3．
故选B．
某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
【答案】B
【解析】解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−18x3+916ax2+12x−1−12x
=−18x3+916ax2−1，
当x=2时，g(2)=−18×23+916a×22−1=2.5，解得a=2．
∴g(x)=−18x3+98x2−1，
g'(x)=−38x2+94x=−38x(x−6)，
∴函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减．
∴x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值，
故选B．
已知函数f(x)=−x2−3x−1，g(x)=ex+ex2ex，实数m，n满足mA. 1B. 3C. 23D. 5
【答案】A
【解析】g'x=ex+e⋅2ex−ex+ex⋅2e2ex2=2ex⋅ex−2e⋅ex4e2x2=x⋅ex−ex2ex2=x−12ex2⋅ex，
所以当01时，g'x>0,gx递增．
所以在区间0,+∞上，gx的最小值为g1=e+e2e=1．
fx=−x+322+54，故fx在x=−32时取得最大值54．
画出fxx<0和gxx>0图象如下图所示，令fx=1，解得x=−2或x=−1．
依题意，实数m，n满足m由图可知，n−m的最大值为−1−−2=1．
故选A
已知函数f(x)=lnxx，下列结论不正确的是( )
A. f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减
B. f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x−1
C. f(2)>f(3)
D. f(x)在(0,+∞)上有最大值
【答案】C
【解析】解：f'(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
在(0,e)上，f'(x)>0，f(x)单调递增，
在(e,+∞)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，故A正确，
f(x)max=f(e)=lnee=1e，故D正确，
f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为：
y−0=f'(1)(x−1)，
即y=1⋅(x−1)=x−1，故B正确，
f(2)=ln22=3ln26=ln86，f(3)=ln33=2ln36=ln96，
因为0所以f(2)故不正确的是C，
故选：C．
设函数f(x)=12x2−ln|x|−ax+4a，其中a<0，若仅存在一个整数x0，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围是( )
A. [−16,−110)B. [−13+16ln2,−110)
C. (−16,−110]D. (−13+16ln2,−110]
【答案】C
【解析】解：令g(x)=12x2−ln|x|(x≠0)，ℎ(x)=ax−4a=a(x−4)，
因为仅存在一个整数x0，使得f(x0)≤0，
所以仅有一个整数，使得g(x)≤ℎ(x)，
因为g(−x)=12x2−ln|x|=g(x)，所以g(x)为偶函数，
当x>0时，g'(x)=x−1x=x2−1x，
令g'(x)>0，可得x>1，令g'(x)<0，可得0所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=12，当x→0，g(x)→+∞，当x→+∞，g(x)→+∞，
由偶函数的性质可得当x<0时，g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，
g(x)min=g(−1)=12，当x→0，g(x)→+∞，当x→−∞，g(x)→+∞，
ℎ(x)=a(x−4)，恒过定点(4,0)，且a<0，
作出图象，由图象可得满足条件的整数为−1，
所以g(−1)≤ℎ(−1)g(−2)>ℎ(−2)g(1)>ℎ(1)，即12≤−5a2−ln2>−6a12>−3a，解得−16即实数a的取值范围是(−16,−110].
故选：C．

已知函数f(x)=aexx(a>0)，下面描述正确的是
A. f(x)在R上单调递增
B. f(x)无极值点
C. 当a=2时，函数f(x)在[1,2]上有最小值e
D. 若f(x)≥1对任意x∈(0,+∞)恒成立，则a≥1e
【答案】D
【解析】解：∵f'(x)=aex(x−1)x2，
令f'x>0得x>1，令f'x<0得x<0或0故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以A错；
f(x)有极小值f(1)=ae，无极大值，所以B错；
当a=2时，f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2e，所以C错；
f(x)在(0,+∞)上最小值为f(1)=ae，∴ae≥1，∴a≥1e，∴D正确．
故选D．
已知函数f(x)=ex−e−x，g(x)=csx+12x2−ax，对于任意x1,x2∈[−π2,π2]且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)>0，则实数a的最大值是( )
A. π2B.
C. 1−π2D. 1
【答案】C
【解析】解：因为对于任意且x1≠x2，都有，
所以f(x)与g(x)的单调性相同，
又因为f(x)=ex−e−x单调递增，
所以g(x)也单调递增，且g'(x)=−sinx+x−a，
因为g(x)是增函数，
故−sinx+x−a≥0在上恒成立，
即a≤−sinx+x在上恒成立，
令ℎ(x)=−sinx+x，则ℎ'(x)=1−csx≥0，
故ℎ(x)=−sinx+x单调递增，
所以
故，
所以a的最大值为．
故选C．
第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】A
【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得
y=1250×150+825kx+2500kx2k>0
则y'=825k−5000kx3．
令y'=0，解得x=25．
当0当x>25时，y'>0，
故当x=25时，y有最小值．
因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．
故选A．
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f'(x)+f(x)x=1x2，且f(e)=2e，e为自然对数的底数，若关于x的不等式f(x)x−x−ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围为
A. [1,+∞)B. [2,+∞)
C. [e+2e,+∞)D. [−e3+2e2+2e,+∞)
【答案】B
【解析】解：由f'(x)+f(x)x=1x2，得xf'(x)+f(x)=1x．
设g(x)=xf(x)，g'(x)=xf'(x)+f(x)=1x，
则g(x)=lnx+c，从而有f(x)=lnx+cx．
又因为f(e)=1+ce=2e，所以c=1，f(x)=lnx+1x，f'(x)=−lnxx2，
当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以f(x)max=f(1)=1．
因为不等式f(x)x−x−ax+2≤0恒成立，所以f(x)−x2+2x−a≤0，
即f(x)−(x−1)2+1≤a，又因为f(x)−(x−1)2+1≤2，所以a≥2.
二、单空题
若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
【答案】3−1
【解析】解：f'(x)=x2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，
当x>a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当−a0，f(x)单调递增，
当x=a时，f(x)=a2a=33，a=32<1，不合题意．
∴f(x)最大值=f(1)=11+a=33，a=3−1，
经检验a=3−1满足题意．
故答案为3−1．
已知函数f(x)=a−x2(0【答案】3
【解析】解：因为f(x)=a−x2(0所以f'x=−2x，
所以在点P处的切线的斜率为k=f't=−2t，
又ft=a−t2，
所以在点P处切线方程为y−a−t2=−2tx−t，
令x=0，得yN=a+t2，
令y=0得xM=t2+a2t，
所以是坐标原点)的面积为：
S(t)=12a+t2·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14t3+2at+a2t，
所以S't=143t2+2a−a2t2=14·3t4+2at2−a2t2，
由S't=0，得t=a3，
当0当t>a3时，S't<0，函数S(t)单调递增，
所以当t=a3时，S(t)取得最小值，此时t0=a3，
所以at0=aa3=3．
故答案为3．
已知a>1，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____．
【答案】3e
【解析】解：
．
令fx=x−lnx，f'x=1−1x=x−1x，
∴fx在上单调递增，
∵a>1，x∈13,+∞,
∴3x⩾1,aex>1，
又f3x⩽faex，
∴3x⩽aex⇔3xex⩽a对于任意的x∈13,+∞恒成立，
令，x∈13,+∞,
，
可知函数g(x)在13,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
∴当x=1时，gx取最大值为3e，
，
∴a的最小值为3e．
故答案为3e．
某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________．
【答案】26π27
【解析】解：原模具的毛坯体积为V1=4π3×13+2π=10π3，
设挖出的小圆柱的底面半径为r(0则该小球在半球内的高ℎ=1−r2，故r2=1−ℎ2(0<ℎ<1)，
所以挖出的小圆柱的体积V2=πr2(2+2ℎ)=2π(1−ℎz)(1+ℎ)=−2π(ℎ3+ℎ2−ℎ−1)，0<ℎ<1，
所以V'2=−2π(3ℎ2+2ℎ−1)=−2π(3ℎ−1)(ℎ+1)，所以当ℎ=13时，V2的最大值为64π27，
所以挖出圆柱形空间后，该模具体积的最小值为V1−Vz量大=10π3−64π27=26π27．
故答案为：26π27．
三、解答题
已知函数f(x)=lnx−ax+3,a∈R．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x+3,x∈(0,+∞)，
f'(x)=1x−1=1−xx，列表
∴函数f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；
(2)f'(x)=1x−a=1−axx,x∈(0,+∞)，
①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在x∈(0,+∞)是增函数；
②当a>0时，对x∈(0,1a),f'(x)>0，f(x)是增函数，
对x∈(1a,+∞),f'(x)<0，f(x)是减函数，
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)是增函数；
当a>0时，f(x)在(0,1a)是增函数，在(1a,+∞)是减函数
(3)要使得f(x)=lnx−ax+3≤0恒成立，则f(x)max⩽0，
由(2)可知，f(x)的极大值f(1a)即为f(x)的最大值，
∴ f(1a)=ln1a−1+3=−lna+2≤0,lna≥2=lne2,a≥e2，
∴实数a的取值范围为[e2,+∞)．
已知f(x)=−ex+ex(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；
(Ⅱ)设g(x)=lnx+12x2+ax，若对任意x1∈(0,2]，总存在x2∈(0,2].使得g(x1)【答案】解：(Ⅰ)f(x)=−ex+ex的导数为f'(x)=−ex+e，
当x∈(−∞,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
故f(x)max=f(1)=0；
(Ⅱ)对任意x1∈(0,2]，总存在x2∈(0,2]，
使得g(x1)由(Ⅰ)可知f(x)max=f(1)=0．
问题转化为g(x)<0在x∈(0,2]恒成立．
参变量分离得：−a>lnx+12x2x=lnxx+12x，
令r(x)=lnxx+12x，x∈(0,2]，
r'(x)=1−lnxx2+12，由00，得r'(x)>0，
即r(x)在x1∈(0,2]上单增．
故−a>r(x)max=r(2)=ln22+1．
综上：a<−ln22−1，
即a的取值范围为 (−∞,−ln22−1)．
已知函数f(x)=2x2+xlna，g(x)=ae2xlnx，其中a>0．
(I)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0，求a的值；
(II)若对任意的x∈(0,1)，不等式g(x)−f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)依题可得f'(x)=4x+lna 且f'(1)=0，
∴4+lna=0. ∴a=1e4.
(2)有题设g(x)−f(x)<0即ae2xlnx−(2x2+xlna)<0，
整理得 lnxx<2x+lnaa⋅e2x=lne2x+lnaa⋅e2x=ln(a⋅e2x)a⋅e2x,
设ℎ(x)=lnxx，则上式即为ℎ(x)<ℎae2x．
∵ℎ'(x)=1−lnxx2，令ℎ'(x)=1−lnxx2=0得 x=e．
∴当x∈(0,e)时，ℎ'(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，ℎ'(x)<0，函数ℎ(x)单调递减.
又当x∈(0,1)时，ℎ(x)=lnxx<0，
∴ℎ(x)<ℎae2x只需 xxe2x，
设H(x)=xe2x，则H'(x)=1−2xe2x.令H'(x)=1−2xe2x=0得 x=12．
∴当x∈(0,12)时，H'(x)>0，H(x)单调递增；当x∈(12,1)时，H'(x)<0，H(x)单调递减．
∴H(x)=xe2x⩽12e.
∴a>12e .
已知函数f(x)=lnx−ex+(ea−1)x+a(a∈R)．
(1)当a=0时，证明不等式f(x)+2<0；
(2)若不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=lnx−ex，函数的定义域为(0,+∞)，
所以f'(x)=1x−ex=1−xexx，
记g(x)=1−xex，
所以g'(x)=−(x+1)ex，
当x∈(0,+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
又因为g(0)=1>0，g(1)=1−e<0，
所以存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=0⇒1−x0ex0=0，
所以当x∈(0,x0)时，g(x)>0，即f'(x)>0；
当x∈(x0,+∞)时，g(x)<0，即f'(x)<0；
所以f(x)max=f(x0)=lnx0−ex0，
又因为1−x0ex0=0⇒ex0=1x0，x0=−lnx0，
所以f(x0)=−x0−1x0=−x0+1x0<−2，
即f(x0)+2<0.所以f(x)+2<0．
(2)不等式f(x)≤0恒成立等价于lnx−ex+(ea−1)x+a≤0在(0,+∞)上恒成立，
即xea+a+lnx≤ex+x在(0,+∞)恒成立，
也就是ea+lnx+(a+lnx)≤ex+x在(0,+∞)恒成立，
构造函数φ(x)=ex+x，则φ'(x)=ex+1>0，
所以φ(x)在(−∞,+∞)单调递增，
所以φ(a+lnx)≤φ(x)⇒a+lnx≤x，
即a≤x−lnx，
记ℎ(x)=x−lnx，
所以ℎ'(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，ℎ'(x)<0，ℎ(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)单调递增；
所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，
所以a≤1，故实数a的取值范围为(−∞,1]．
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
f(x)
↗
2
↘

高考数学核心考点专题训练专题12利用导数研究闭区间上函数的最值(原卷版+解析)

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