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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.2等差数列及其前n项和专题练习（学生版+解析）
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.2等差数列及其前n项和专题练习（学生版+解析），共21页。
A．1B．2C．-2D．-1
2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．0B．1C．D．
3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
练提升TIDHNEG
1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.
6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
19·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
专题7.2 等差数列及其前n项和
练基础
1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得
故选：B
2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【解析】
，解得，
所以．
故选：B.
3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【解析】
由，得，
所以.
故选：B.
4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
根据题意，等差数列an中，S3=S9， 则S9−S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=0， 又由an为等差数列，则a4+a9=a5+a8=a6+a7=0， 又由a1>0，d<0，则a6>0，a7<0， 则当n=6时，Sn取得最大值； 故选：C．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
【答案】A
【解析】
由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.
【详解】
解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵等差数列前n项和，
由S15>0，S16<0，得，∴，
若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，
分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，
∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．
7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】
得
8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【解析】
因，所以，即，
所以．
9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
【答案】64
【解析】
设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.
【详解】
设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.
故答案为：64.
10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
练提升TIDHNEG
1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．
【详解】
解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
【答案】C
【解析】
本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意可知，五年累计总投入资金为：
，
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，
故选：C.
3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.
【详解】
因为，所以，
所以在各个区间中的元素个数分别为：，
所以当时，的值域为，集合中元素个数为：
，
所以，
所以，
故选：D.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，，，得出最小值.
【详解】
由于即,解得,
故,
作函数的图象，
故的最小值可能为，或，
而，，，
故的最小值为.
故答案为：8.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.
【答案】3
【解析】
当时，若有n个1，由题知，数列共有项，
当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，
所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.
【详解】
当时，若有n个1，由题知，数列共有项，
当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，
所以前项中含63个1，其余均为x，
故该数列的前项的和为，解得.
故答案为：3
6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可求出
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
可得，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为当时，，
所以.
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
所以，
，
，
……，
，
所以，
又由，可得，
当时，，满足上式，
所以.
所以，
所以.
8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；
（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.
【详解】
解：（1）由结合数列各项均为正数 得
则，所以数列是等差数列；
（2），则公差
∴，
∴.
9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；
（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】
（1）令，则，可得，得；
当时，由可得，
两式相减得，即，
由数列的各项为正，可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
即数列的通项公式为；
（2）由得，则有，
因为
，
因此，.
10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1），（2）整数的最小值是11.
【解析】
（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，
又，所以，从而.
（Ⅱ）因为，所以 ，
当时， ①
②
①-②可得，，即，
而也满足，故.
令，则，即，
因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.
练真题TIDHNEG
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
【答案】
【解析】
因为，所以．
即．
故答案为：.
2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】
因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】0. -10.
【解析】
等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
6.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
A．1B．2C．-2D．-1
2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．0B．1C．D．
3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
练提升TIDHNEG
1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.
6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
练真题TIDHNEG
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
19·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
专题7.2 等差数列及其前n项和
练基础
1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得
故选：B
2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【解析】
，解得，
所以．
故选：B.
3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【解析】
由，得，
所以.
故选：B.
4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若a1>0,d<0,S3=S9，则当Sn取得最大值时，n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
根据题意，等差数列an中，S3=S9， 则S9−S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=0， 又由an为等差数列，则a4+a9=a5+a8=a6+a7=0， 又由a1>0，d<0，则a6>0，a7<0， 则当n=6时，Sn取得最大值； 故选：C．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
【答案】A
【解析】
由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.
【详解】
解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵等差数列前n项和，
由S15>0，S16<0，得，∴，
若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，
分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，
∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．
7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】
得
8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【解析】
因，所以，即，
所以．
9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
【答案】64
【解析】
设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.
【详解】
设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.
故答案为：64.
10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
练提升TIDHNEG
1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．
【详解】
解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
【答案】C
【解析】
本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意可知，五年累计总投入资金为：
，
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，
故选：C.
3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.
【详解】
因为，所以，
所以在各个区间中的元素个数分别为：，
所以当时，的值域为，集合中元素个数为：
，
所以，
所以，
故选：D.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，，，得出最小值.
【详解】
由于即,解得,
故,
作函数的图象，
故的最小值可能为，或，
而，，，
故的最小值为.
故答案为：8.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.
【答案】3
【解析】
当时，若有n个1，由题知，数列共有项，
当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，
所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.
【详解】
当时，若有n个1，由题知，数列共有项，
当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，
所以前项中含63个1，其余均为x，
故该数列的前项的和为，解得.
故答案为：3
6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可求出
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和为，
可得，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为当时，，
所以.
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
所以，
，
，
……，
，
所以，
又由，可得，
当时，，满足上式，
所以.
所以，
所以.
8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；
（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.
【详解】
解：（1）由结合数列各项均为正数 得
则，所以数列是等差数列；
（2），则公差
∴，
∴.
9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；
（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】
（1）令，则，可得，得；
当时，由可得，
两式相减得，即，
由数列的各项为正，可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
即数列的通项公式为；
（2）由得，则有，
因为
，
因此，.
10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1），（2）整数的最小值是11.
【解析】
（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，
又，所以，从而.
（Ⅱ）因为，所以 ，
当时， ①
②
①-②可得，，即，
而也满足，故.
令，则，即，
因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.
练真题TIDHNEG
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
【答案】
【解析】
因为，所以．
即．
故答案为：.
2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】
因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】0. -10.
【解析】
等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
6.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
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