专题06等差数列的概念与前n项和（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】等差数列的定义与前n项和
一.等差数列的定义
1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列
二.等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
三.等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq \f(a＋b,2).
四.等差数列的证明
1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；
2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
五.等差数列的性质
1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
【清单02】等差数列的前n项和
一.数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
二．等差数列的前n项和公式
三．等差数列前n项和的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和：
1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
【考点题型一】等差数列基本量的计算
方法总结：等差数列的基本运算：
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，3a4−a3=S5−a7=20，则S10=（ ）
A．78B．100C．116D．120
【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S3=4，则S9S6=（ ）
A．32B．4C．94D．116
【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列an中，若2a3+a9=18，则a2+3a6的值为（ ）
A．36B．24C．18D．9
【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知an为等差数列，a2=8，a6=20，则a10=
【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列an中，若a8=6,a11=0，则a1的值为 ．
【考点题型二】等差数列的通项公式
方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
【例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知an为等差数列，数列bn满足：a1+b1=2，anbn=2n2−nn∈N*，且5a4=7a3，则bn=（ ）
A．n22n−1B．nC．n2D．2−n2n−1
【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列An的首项为2，公差为8，在An中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列an，数列an的通项公式an= .
【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列an的通项公式an= ．①2an+1=an+an+2；②an+1【变式2-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）设等差数列an,n∈N∗，且满足a1+a3+a5=9
(1)求a3；
(2)若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列，求通项公式an．
【变式2-4】（22-23高二上·江苏常州·期中）记Sn为数列an的前n项和，已知an<0，an2−3an=4−6Sn．
(1)求a1，a2；
(2)求数列an的通项公式．
【考点题型三】等差数列的前n项和
方法总结：求等差数列前n项和的方法:
1.用倒序相加法求数列的前n项和。
如果一个数列an，与首未项等距的两项之和等于首未两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
2.用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:Sn=n(a1+an)2或Sn=na1+n(n−1)d2
对等差数列，求前n项和Sn可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
3、用裂项相消法求数列的前n项和。
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
4、用构造法求数列的前n项和。
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
【例3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，SnSn−1+an=0(n≥2,n∈N∗)，则Sn= .
【变式3-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）在等差数列an中，S4=21，an−3+an−2+an−1+an=67，Sn=286，则n= .
【变式3-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，bn=Snn
(1)证明：数列bn是等差数列；
(2)当a7=4 ，b15=5 时，求数列bn的前n项和Tn．
【变式3-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，an>0，且满足4Sn=an+12．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=4Snanan+1的前n项和为Tn，求Tn．
【变式3-4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）在等差数列{an}中，已知 a1+a2+a3=18且a4+a5+a6=54.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【考点题型四】等差数列的证明
方法总结：判断等差数列的方法
1.定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
2.等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
3.通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
【例4】（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列an满足an+1=6an−4an+2n∈N∗，且a1=3.
(1)求a2,a3,a4；
(2)证明：数列1an−2是等差数列，并求an.
【变式4-1】（20-21高二上·江苏盐城·期中）已知数列{an}满足an+1=2anan+2，且a1=2，数列{bn}满足bn+1−bn=anbn，且b1=2，(n∈N∗).
（1）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；
（2）解关于n的不等式：22an【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，bn=Snn
(1)证明：数列bn是等差数列；
(2)当a7=4 ，b15=5 时，求数列bn的前n项和Tn．
【变式4-3】（20-21高二上·江苏常州·期中）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足对任意n∈N∗，都有a13+a23+⋯+an3=Sn2.
（1）求证：数列an为等差数列；
（2）若bn=(−1)n2an2，求数列bn的前n项和Tn.
【变式4-4】（19-20高二上·江苏徐州·期中）已知等差数列an前n项和为Sn，且S2=−18，S11=0.
（1）求数列an的通项公式；
（2）若bn=Snn，求证：数列bn是等差数列.
【考点题型五】等差数列前n项和的性质
方法总结：等差数列的前n项和常用的性质：
1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列；
2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列；
3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)
【例5】（23-24高二下·江苏盐城·期中）等差数列 an 中，Sn 是其前 n 项和，S55−S33=2，则公差 d 的值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式5-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn，n∈N∗，都有SnTn=2n+34n−3，则a2+a14b3+b13的值为（ ）
A．3765B．1119C．919D．1929
【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S3=4，则S9S6=（ ）
A．32B．4C．94D．116
【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a5+a8=18，则S9=（ ）
A．36B．45C．54D．63
【变式5-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列an，S3=7，S6=15，则S9的值为 .
【考点题型六】等差数列前n项和最值
方法总结：
1.项的符号法(邻项变号法)：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
2.二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
3.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
【例6】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列an的公差d<0，且a12=a132，an前n项和为Sn，若Sk是Sn的最大值，则k的可能值为（ ）
A．6B．7C．12D．13
【变式6-1】（多选）（20-21高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a16 <0， 则（ ）
A．a1>0B．d<0
C．前15项和S15最大D．从第32项开始，Sn<0
【变式6-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知Sn为数列an的前n项和，且an+1=an+d，（n∈N*，d<0），若S3=12，a3a5+2a3−5a5−10=0．求：
(1)数列an的通项公式；
(2)Sn的最值．
【变式6-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知在等差数列an中，a5=1,a9=−7．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列an的前n项和Sn，则当n为何值时Sn取得最大，并求出此最大值．
【变式6-4】（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a6=6,a4=2.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求Sn的最大值及相应的n的值.
【考点题型七】等差数列函绝对值的前n项和
【例7】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn.已知a2+a6=2，S9=−18.
(1)求an；
(2)当n为何值时，Sn最小？并求此最小值.
【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2−15n.
(1)求an的通项公式
(2)若cn=an，求cn的前n项和Tn.
【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知Sn是等差数列an的前n项和，且a7=−3，S9=3a4.
(1)求数列an的通项公式与前n项和Sn；
(2)若bn=an且数列bn的前n项和为Tn，求T10.
【变式7-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列an，前nn∈N∗项和为Sn，又a2=4,S9=90．
(1)求数列an的通项公式an；
(2)设bn=9−an，求数列bn的前n项和Tn．
【变式7-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知正项数列an的前n项和记为Sn，a1=2，且满足2Sn=nan+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1+4Sn，数列bn的前n项和为Tn，定义x为不超过x的最大整数，例如0.1=0，3.1=3．当T1+T2+⋅⋅⋅+Tn=97时，求n的值．
【考点题型八】恒成立问题
【例8】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列an的前n项和Sn=n2+2n，cn=12, n=11an−1⋅an,n≥2，则使c1+c2+c3+⋯+cm≤1930成立的m的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知an是正项数列，其前n项的和为Sn，且满足2Sn=an+1an,x表示不超过x的最大整数，若tSn≥Sn恒成立，则t的取值范围为 ．
【变式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差数列an满足：a1=2，a5=18．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记Sn为数列an的前n项和，求正整数n的范围，使得Sn>60n+800．
【变式8-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1=1，nan+1=2Sn+n(n∈N∗).
(1)求数列an的通项公式an；
(2)设bn=an+22n+1⋅an⋅an+1，求数列bn的前n项和Tn；
(3)设数列cn的通项公式为cn=anan+t ，问:是否存在正整数t，使得c1，c2，cm (m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−2n+1.
(1)求数列an的通项公式;
(2)若不等式2n2−n−3<5−λan对∀n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围.
【考点题型九】等差数列中的其他问题
【例题9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且Sn单调递增，若a5=6，则d的取值范围为（ ）
A．0,53B．0,107C．0,53D．0,2
【变式9-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列3n+1与数列4n−1，其中n∈N∗.它们的公共项由小到大组成新的数列an，则an的前20项的和为（ ）
A．2380B．2400C．2420D．2440
【变式9-2】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列an中，a1=1，对于任意的m,n∈N∗，都有am+n=am+an，若正整数k满足a2k−1+a2k+1+a2k+3+⋯+a2k+17=100，则k=（ ）
A．1B．10C．50D．100
【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递减数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an<0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式9-4】20-21高二上·江苏常州·期中）已知数列an为等差数列，Sn为an的前n项和，若1≤a2≤3，2≤a3≤4，则S4的取值范围是 .
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn=n(a1+an)2
Sn=na1+n(n−1)d2