专题2.7 函数与方程（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc8326" 【题型1 函数零点所在区间的判断】 PAGEREF _Tc8326 \h 2
\l "_Tc24272" 【题型2 求函数的零点或零点个数】 PAGEREF _Tc24272 \h 4
\l "_Tc4684" 【题型3 根据函数零点个数求参数】 PAGEREF _Tc4684 \h 6
\l "_Tc21371" 【题型4 根据函数零点的范围求参数】 PAGEREF _Tc21371 \h 9
\l "_Tc18679" 【题型5 由函数零点分布求值（范围）】 PAGEREF _Tc18679 \h 12
\l "_Tc6552" 【题型6 复合函数的零点个数判定】 PAGEREF _Tc6552 \h 14
\l "_Tc16360" 【题型7 根据复合函数零点求参数】 PAGEREF _Tc16360 \h 18
\l "_Tc16909" 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 PAGEREF _Tc16909 \h 21
1、函数与方程
【知识点1 确定函数零点所在区间的方法】
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)a.
x≤a时，f′x=ex+1>0，因此函数在−∞,a单调递增；
x>a时，f′x=ex−1.
（i）a∈0,+∞时，f′x>0，因此f′x在a,+∞单调递增.
当10，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.
【解答过程】由题意知函数f(x)=lnxx−xm有两个零点，即lnxx−xm=0有两个不等实数根，
即函数y=lnxx,y=xm的图象有两个不同交点；
设ℎ(x)=lnxx,x>0，则ℎ'(x)=1−lnxx2,x>0，
当00,0,x=0,xln−x−1,x0时，−x0)有2个交点即可，
所以方程a=lnx+1x有2个实数根.令tx=lnx+1x，则t′x=x−1x2，
当01.
故选：A.
【变式3-3】（2024·陕西汉中·二模）已知函数fx=12xln12,x≤04ln2x,x>0，若函数gx=fx−mx有4个零点，则m的取值范围为（ ）
A．mm≥16e2B．mm≥eln22
C．meln221，切线斜率为k1=8lnx1x1，
则切线方程为y−4ln2x1=8lnx1x1x−x1，
代入点O0,0，可得−4ln2x1=−8lnx1，解得x1=e2，
此时切线斜率为k1=16e2；
若x≤0，则fx=12xln12=−ln2⋅12x，可得f′x=ln22⋅12x，
设切点坐标为x2,−ln2⋅12x2,x2≤0，切线斜率为k2=ln22⋅12x2，
则切线方程为y+ln2⋅12x2=ln22⋅12x2x−x2，
代入点O0,0，可得ln2⋅12x2=ln22⋅12x2−x2，解得x2=−1ln2=−lg2e，
此时切线斜率为k2=e⋅ln22；
结合图象可知m的取值范围为mm=eln22或m=16e2.
故选：D.
【题型4 根据函数零点的范围求参数】
【例4】（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex−kx2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为 e24 ．
【解题思路】首先判断k>0，令fx=0，x∈0,+∞，参变分离可得k=exx2，依题意可得y=k与y=exx2在0,+∞上有且只有一个交点，令φx=exx2，x∈0,+∞，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出k的值.
【解答过程】若k≤0时fx>0恒成立，所以fx=ex−kx2没有零点，
所以k>0，
令fx=0，x∈0,+∞，即ex−kx2=0，所以k=exx2，
依题意y=k与y=exx2在0,+∞上有且只有一个交点，
令φx=exx2，x∈0,+∞，则φ′x=ex(x−2)x3，
所以当00)中，f−π4=3,fπ2=0，
∴3cs−π4ω+φ=33csπ2ω+φ=0 ,所以−π4ω+φ=2k1ππ2ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z，
两式相减得3π4ω=k2−2k1π+π2，
所以ω=43k2−2k1+23，即ω=4n3+23，n∈Z，
因为x∈−π3,−π6,ω>0，所以ωx+φ∈−π3ω+φ,−π6ω+φ ，
令ωx+φ=t， t∈−π3ω+φ,−π6ω+φ，
由题意知y=3cst在t∈−π3ω+φ,−π6ω+φ上无零点，
故−π3ω+φ,−π6ω+φ⊆−π2+kπ,π2+kπ，k∈Z，
所以−π3ω+φ≥−π2+kπ−π6ω+φ≤π2+kπ，即−π3ω+φ≥−π2+kππ6ω−φ≥−π2−kπ，
两式相加得−π6ω≥−π，所以03时，有x2−2a+1x+2a2−a+1=x−a−12+a2−3a≥a2−3a=aa−3>0，
所以fx在a,+∞上没有零点.
而若1x−a+1+a=0，则只可能x=a−1a−1，所以fx在−∞,a上至多可能有1个零点.
故fx在R上至多可能有1个零点，从而在0,+∞上至多可能有1个零点，不满足条件；
当0a.
故x=a+1+a3−a确为fx在a,+∞上的一个零点，
而当且仅当a2−3a+1≥0时，另一根x=a+1−a3−a是fx在a,+∞上的一个零点.
条件为fx在区间0,+∞内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：a−1a−1≥0a2−3a+10解得00的图像如图，由图可知00，g(1)=−1e0，
所以g(0)g(1)