高一预习-5.5 三角恒等变换（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-5.5 三角恒等变换（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共11页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2) cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3) tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．
知识点二 二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcs α；
②cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(2)公式变形：
由cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
知识点三 辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ). （其中）
＝eq \r(a2＋b2)cs(x—φ). （其中）
【基础自测】
1．若tan α＝eq \f(1,2)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C. eq \f(4,5) D. eq \f(3,5)
2．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A. eq \f(\r(2),2) B. eq \f(1,2) C. eq \f(56,65) D. eq \f(36,65)
3．tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ .
4．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
5．已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，则cs 2α＝ ，2α－β＝ .
【例题详解】
一、三角函数式的化简
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A. eq \f(\r(5),3) B. eq \f(2,3) C. eq \f(1,3) D. eq \f(\r(5),9)
(2)2eq \r(1＋sin 4)＋eq \r(2＋2cs 4)等于( )
A．2cs 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cs 2 D．2sin 2＋4cs 2
跟踪训练1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α等于( )
eq \f(1,5) B. eq \f(\r(5),5) C. eq \f(\r(3),3) D .eq \f(2\r(5),5)
(2)化简下列各式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．
二、三角函数的求值
命题点1 给角求值
例2 (1)eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))的值为( )
A．1 B. eq \r(3) C. eq \r(2) D．2
(2)的值为（ ）
A． B． C．－D．－
跟踪训练2 计算：(1)sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(2)sin(54°－x)cs(36°＋x)＋cs(54°－x)sin(36°＋x)．
(3)sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
命题点2 给值求值
例3 (1)已知，均为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．或
(2)已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
跟踪训练3 (1)已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
(2)若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
命题点3 给值求角
例4 (1)已知都是锐角，则（ ）
A．B．C．或D．不能确定
(2)已知且，则=（ ）
A． B． C． D．或
跟踪训练4 (1)若，，且，，则的值是（ ）
A． B．
C．或D．或
(2)若为锐角，，则角__________.
三、三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
跟踪训练5 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值.
【课堂巩固】
1．若均为第二象限角，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，与是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．或
5．若，则__________，_________．
6．计算：___________.
7．化简=_________
8．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.
9．若，，则___________.
10．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
11．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
12．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
(1)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))的值．
【课时作业】
1．若，是第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
4．已知，，是锐角，则=（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称D．在上单调递增
10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为B．函数图象的一条对称轴为直线
C．函数在上单调递增D．函数的最小值为
11．已知，则的值为______．
12．已知，且，则___________.
13．__________.
14．已知函数，对，成立，则_______.
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值；
（2）求的值．
16．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的取值范围.
18．已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．