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专题01 集合及其运算（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题01 集合及其运算（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册），文件包含专题01集合及其运算原卷版docx、专题01集合及其运算解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共52页， 欢迎下载使用。
【清单01】元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【清单02】集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
【清单03】子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单04】真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单05】并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单06】交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单07】全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【考点题型一】元素与集合的关系
【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系
【例1-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知，则实数 ．
【答案】，或
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果.
【详解】因为，
（1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；
（2），解得或；
（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；
综上可知，实数a的取值可以为或或；
故答案为：，或
【变式1-1】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案.
【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.
故选:C.
【例1-2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①；
对于②：由题意知，，再得，，从而判断②；
对于③：由，得，，结合性质可判断③；
对于④：，由，，可判断④.
【详解】解：对于①：假设，则令，则，，
令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对；
对于②：由题意知，，则，，故②正确；
对于③：，，故③正确；
对于④：，若，则，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，且．
（1）判断是否为中元素
（2）设，求证：
（3）证明：若，则是偶数；
【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】（1）根据集合元素的属性判断；
（2）根据，由化简，由集合元素的属性判断；
（3）根据，由化简判断.
【详解】（1）因为，
此时：，不满足，
所以不是集合中元素.
（2）因为，则，
，
，
因为都是整数，
所以.
（3）因为，
所以，
，
因为，所以为偶数即为偶数.
【例1-3】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其他所有元素．
(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．
【答案】(1)中其他所有元素为，，2；
(2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，．
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素；
（2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素．
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是的元素，
取，则，，，，
所以当，中的元素是：3，，，．
【变式1-3】（23-24高一·全国·课后作业）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）.
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】(1)设，，，计算即可得．
(2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可.
【详解】解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）
【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数
【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性
【例2-1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可
【详解】若，即时，，不满足互异性，
若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立，
若，即或，验证都不满足互异性.
综上，.
故答案为：
【变式2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？
【答案】(1)A中其他所有元素为，，2
(2)0不是A的元素
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】（1）根据元素与集合的关系得出其他元素；
（2）利用反证法结合元素与集合的关系求解即可.
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素.
【例2-2】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
【变式2-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数
【解题方法】分类讨论+判别法
【例3-1】（23-24高三上·黑龙江双鸭山）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A．B．0或C．1D．0或1
【答案】B
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了.
【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；
（1）当时，方程化为，只有一个解；
（2）当时，若只有一个解，只需，即；
综上所述，可知的值为或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.
【变式3-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】因集合是方程的解集，欲使集合至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对进行讨论求解即可．
【详解】解：集合至多有一个元素，
分类讨论：
①当时，只有一个元素，符合题意；
②当时，要至多有一个元素，
则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根，
，得：，，
综上所述：或．
故选：．
【点睛】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题．
【例3-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为一元二次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
【变式3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若A中只有一个元素，求集合A；
（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}；（2）.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）方程只有一个根，对二次项系数a是否为0，进行分类讨论即可求解；
（2）二次项系数a是否为0，进行分类讨论即可求解.
【详解】(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
所以a≤
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围为.
【考点题型四】集合中元素的特性
【解题方法】集合的互异性，确定性，无序性，特别注意互异性
【例4-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ）
A．1B．−2C．D．2
【答案】ABD
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可.
【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错；
当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错；
当a=−1时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对；
当a=2时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错.
故选：ABD
【变式4-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 .
【答案】或5
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据题意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互异性分析判断即可.
【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且，
所以，或，
当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意，
当时，得或，
当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去，
当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意，
综上，或.
故答案为：或5
【例4-2】（23-24高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得
【详解】解：因为，所以
①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即
②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．
当时，集合为，元素重复，所以不成立，即
③若，解得或，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数的取值集合为
【变式4-2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，若，求实数a的值．
【答案】.
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，列方程求解并验证作答.
【详解】集合，因，则或，
解得：，此时，矛盾，即，
解得：，则有，当时，，符合题意，则，
所以实数a的值是.
【考点题型五】列举法，描述法
【解题方法】抓住集合表示方法的定义
【例5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.
【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合，
对于AB，集合AB中的有负数，AB不是；
对于C，集合中没有，C不是；
对于D，满足对集合的描述，D是.
故选：D
【变式5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合．
【答案】
【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合
【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可．
【详解】解：∵，
∴，
即．
∵，
∴．
【例5-2】（23-24高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合
【分析】根据题意，分别用列举法表述即可．
【详解】（1），∴或，；
（2），，．
【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：C
【考点题型六】子集（真子集）个数
【解题方法】可以用公式计算或者直接列举
【例6-1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解.
【详解】解：因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，
所以，
解得.
故选：A
【变式6-1】.（23-24高一上·上海嘉定）若集合有且仅有两个子集，则实数 ；
【答案】0或2或18
【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.
【详解】∵集合有且仅有两个子集,
∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.
当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;
当时, 令, 解得或.
综上, 或或.
故答案为：0或2或18.
【例6-2】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）0或1.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数、空集的性质及应用、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】(1)根据给定条件可得，再借助一元二次方程根的判别式列式作答；
(2)根据给定条件确定方程只有一个根或者有两个等根即可得解.
【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围为；
（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根，
当时，集合满足题意，则，
当时，则，，集合满足题意，即，
所以实数a的值为0或1.
【变式6-2】.（23-24高一上·贵州·阶段练习）满足的集合有 个.
【答案】
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合的基本运算求出集合M即可．
【详解】，那么集合M中一定含所有1，2，3这三个元素，可以得1种.
M，那么除去1，2，3这三个元素，
还可以从4，5，6中取1个元素来构成机构集合的有3种，取2个元素的有3种，
所以满足题意的有种.
故答案为：7.
【考点题型七】根据集合关系求参数
【解题方法】数轴法，列举法，注意不要忽视空集
【例7-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围．
【答案】或
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据题意分和讨论，在时分集合为单元素集和双元素集两种讨论即可.
【详解】由题意知，若，则，解得，
若， ，解得或，
当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，
当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去，
当，即，解得或，则由题意知，
则1,4为方程两根，根据韦达定理得，
综上所述的范围是或.
【变式7-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果．
【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立；
若，解得，此时,，,,，不成立；
若，解得，此时,，,3,，不成立；
综上所述：．
故选：B．
【例7-2】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，，
（1）若A为空集，求实数a的取值范围；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】空集的概念以及判断、根据集合的包含关系求参数
【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答；
(2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】（1）因是空集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
（2）且B是A的真子集，则，解得，
显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，
所以实数a的取值范围.
【变式7-2】.10．（23-24高一上·广东东莞）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【例7-3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知，，且，求的取值范围.
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、描述法表示集合
【分析】由，得到或或，分类讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
因为，可得或或，
当时，则，解得；
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，无解.
综上可得，实数的范围是.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及利用集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
【变式7-3】（23-24高一·全国·课后作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若BA，求实数a的取值范围．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】对集合B分两种情况：B＝∅或B≠∅，进行讨论：
当B＝∅时，利用判别式直接求解；
当B≠∅时，根据x2－4x＋a＝0根的情况即可求解.
【详解】由已知得A＝{1，2}．若BA，则集合B有两种情况，B＝∅或B≠∅
当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴，∴a＞4．
当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；
若Δ＞0，则1，2是方程x2－4x＋a＝0的根，
但由根与系数的关系知矛盾，故Δ＞0不成立．
∴当B≠∅时，a＝4．
综上所述，满足BA时，a的取值范围是．
【考点题型八】集合的综合运算
【解题方法】并交补定义
【例8-1】（23-24高三下·河南·开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由，可得，
故选：B
【变式8-1】（23-24高三上·湖南株洲）设全集，集合 ，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、并集的概念及运算
【分析】先求出集合B，结合补集和并集运算即可.
【详解】
,
.
故选：D.
【例8-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，或，当时.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【知识点】并集的概念及运算、交并补混合运算、补集的概念及运算
【分析】（1）求出集合A，再根据交集运算即可；
（2）先求实数上B的补集，再求并集运算即可.
【详解】（1）当时，，
或，
或；
（2）或，
，
.
【变式8-2】（23-24高一上·陕西宝鸡）设集合，，求，， .
【答案】，，或
【知识点】交并补混合运算
【分析】分别利用交集，并集，补集的运算进行求解即可.
【详解】由集合，，
则 ，或
因此可得或
又或，
因此或或或.
【考点题型九】根据集合的运算结果求参数
【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数
【例9-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，.
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解.
【详解】（1）.
当时，.
所以.
（2）因为，所以.
因为，所以集合B可能为，，或.
当时，只需，解得：；
当或，则必有，所以或.
若，有，不符合题意；若，有，不符合题意；
当时，则1和2是的两根.
所以，无解.
故实数的取值范围为.
【变式9-1】.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或或或或
.【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；
（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.
【详解】由题意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
当时，则，解得，
此时，满足，
当时，则，解得，
此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）
，
所以 ，
对于方程，
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需且，
将2代入方程得，解得或，
将代入方程得，解得，
所以且且，
综上可知，的取值范围是：
或或或或
【例9-2】（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知集，，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数
【解析】（1）当，在，然后针对与分类讨论求解；
（2）若，则，，若，则只需或，然后解出的取值范围.
【详解】解：（1）∵，∴或，
∵，则,
当时，，即，
当时，，，解得.
综上所述：.
（2）由题可知，，，解得.
若时，则只需:或，
解得:.
∴ 当，的取值范围为.
【点睛】本题考查集合的运算结果求参数的取值范围问题，难度一般，解答时，因为空集是任何集合的子集，所以解答时注意空集的特殊性.
【变式9-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合或，集合．
（1）若求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；
（2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解.
【详解】（1）当时，集合或，，
可得，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，可得，
当时或，可得，
综上所述：或．
所以实数a的取值范围为.
【考点题型十】实际问题中的集合问题
【解题方法】利用图解
【例10-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A．3B．9C．19D．14
【答案】C
【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用
【分析】利用文氏图，列式求解.
【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛的有人，
故选：C．
【变式10-1】（2024·北京东城·模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【知识点】集合的应用、利用Venn图求集合
【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.
【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
【例10-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 .
【答案】40
【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用
【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.
【详解】设为七宝中学高一某班全体学生，
集合参加大舞台的学生，
集合参加风情秀的学生，
设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，
则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，
得，
解得，
所以总的人数为人.
故答案为：
【变式10-2】（23-24高一上·江西南昌）某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有 人
【答案】5
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.
【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，
故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名，
则没有参加任何一科竞赛的学生有名，
故答案为：5.
【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.
【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题）
【例11-1】（23-24高一上·上海黄浦）设，若，则称A为集合M的元“好集”．
(1)写出实数集的一个二元“好集”；
(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；
(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3).
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系
【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”；
（2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证；
（3）记正整数集上的一个三元“好集”为，利用条件可推得的值，进而求得，从而得到正整数集上的所有三元“好集”.
【详解】（1）因为，
所以是实数集的一个二元“好集”.
（2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设，
则有，故，得，
因为0所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”.
（3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设，
则有，故，
又因为且，所以，
将其代入得，故，
所以正整数集上的所有三元“好集”为.
【变式11-1】.（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3).
【知识点】集合新定义
【分析】（1）由性质定义判断，
（2）由性质定义证明，
（3）由（2）得，再由性质定义求解，
【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质
理由如下：
对集合，由于
所以集合具有性质；
对集合，由于，故集合不具有性质.
（2）由于，则 ，故，
，故得证.
（3）由于，故，
又，故，
又，故，
.
因此集合.
【例11-2】（23-24高一上·北京）给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：.
【答案】(1)不是闭集合，B为闭集合，证明见解析
(2)不一定，理由见解析
(3)证明见解析
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义
【分析】（1）根据闭集合的定义判断即可；（2）举例子，，由，即可求解；（3）利用反证法，假设，由条件可得存在，，，，可得或，与和为闭集合矛盾，即可求证.
【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合；
任取，，设，，，，则且，所以，同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定；
不妨令，，则由（1）可知， D为闭集合，同理可证为闭集合，因为2，3，，因此，不一定是闭集合，所以若集合C，D为闭集合，则不一定为闭集合；
（3）不妨假设，则由，可得存在且，故.同理，存在且，故，因为，所以或.若，则由C为闭集合且，得，与矛盾.若，则由D为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故.
【变式11-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”
(2)证明见解析
(3)7
【知识点】集合新定义
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
【详解】（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
（2）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7
提升训练
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合
【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】因为，所以，因为，所以
所以，故A错误，B正确；
所以，故C错误；
所以，故D错误；
故选：B．
2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素.
【详解】因为，即，所以的可能取值为，
分别代入可得，所以集合中共有8个元素.
故选：D
3．（21-22高一上·江西赣州·周测）已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解.
【详解】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，
当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，所以，解得．
综上，实数a的取值范围为．
故选：D
4．（2023·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
5．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证.
【详解】因为，所以.
所以或.
若，此时，，不成立，故不合题意；
若，此时，，成立.
故.
故选：C
6．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．1个B．2个C．4个D．8个
【答案】B
【知识点】列举法表示集合、子集的概念
【分析】根据题意得到A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，从而得到集合A的个数为2个.
【详解】集合A满足，，
∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，
一定不包含4和6，
所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为
故选：B．
7．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27B．23C．25D．29
【答案】A
【知识点】容斥原理的应用
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，
同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A.
8．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解．
【详解】由得，所以或，
解得或，所以.
故选：D．
二、多选题
9．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解.
【详解】因为，
对于选项A：可知，故A错误；
对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误；
对于选项C：可知为的真子集，故C正确；
对于选项D：因为为的真子集，且，
所以，故D正确；
故选：CD.
10．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义
【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可.
【详解】，
故，故A正确；
由新定义可知，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
11．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ．
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案.
【详解】因为，可得，所以，
当时，，显然不成立；
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
12．（21-22高一上·云南文山·期末）已知集合且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】直接根据集合的包含关系得到参数范围.
【详解】集合且，则.
故答案为：
四、解答题
13．（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．
【答案】
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，
所以A中只有一个元素，
若，此时，符合题意；
若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根，
即，即，
综上满足条件的实数组成的集合为.
14．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围
(2)若，求实数的值
【答案】(1)
(2)2
【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）利用判别式计算即可；
（2）直接代入1计算即可.
【详解】（1）若，则，
即实数的取值范围为；
（2）若，则
即实数的值为2.
15．（21-22高一·全国·课后作业）已知为实数，，．
(1)当时，求的取值集合；
(2)当时，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，由，得，所以．
综上，的取值集合为．
16．（22-23高一上·北京平谷·期末）设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)4；
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、集合新定义
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.
【详解】（1）因为，所以，
所以；
（2）设，不妨设，
因为，
所以中元素个数大于等于4个，
又，则，此时中元素个数等于4个，
所以生成集B中元素个数的最小值为4；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集由组成，
又，
所以，
若，又，则，故，
若，又，则，故，
所以，又，则，而，
所以不成立，
所以假设不成立，
故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
【清单01】元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【清单02】集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
【清单03】子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单04】真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单05】并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单06】交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单07】全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【考点题型一】元素与集合的关系
【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系
【例1-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知，则实数 ．
【答案】，或
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果.
【详解】因为，
（1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；
（2），解得或；
（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；
综上可知，实数a的取值可以为或或；
故答案为：，或
【变式1-1】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案.
【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.
故选:C.
【例1-2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①；
对于②：由题意知，，再得，，从而判断②；
对于③：由，得，，结合性质可判断③；
对于④：，由，，可判断④.
【详解】解：对于①：假设，则令，则，，
令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对；
对于②：由题意知，，则，，故②正确；
对于③：，，故③正确；
对于④：，若，则，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，且．
（1）判断是否为中元素
（2）设，求证：
（3）证明：若，则是偶数；
【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】（1）根据集合元素的属性判断；
（2）根据，由化简，由集合元素的属性判断；
（3）根据，由化简判断.
【详解】（1）因为，
此时：，不满足，
所以不是集合中元素.
（2）因为，则，
，
，
因为都是整数，
所以.
（3）因为，
所以，
，
因为，所以为偶数即为偶数.
【例1-3】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其他所有元素．
(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．
【答案】(1)中其他所有元素为，，2；
(2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，．
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系
【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素；
（2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素．
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是的元素，
取，则，，，，
所以当，中的元素是：3，，，．
【变式1-3】（23-24高一·全国·课后作业）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）.
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】(1)设，，，计算即可得．
(2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可.
【详解】解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）
【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数
【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性
【例2-1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可
【详解】若，即时，，不满足互异性，
若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立，
若，即或，验证都不满足互异性.
综上，.
故答案为：
【变式2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？
【答案】(1)A中其他所有元素为，，2
(2)0不是A的元素
【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数
【分析】（1）根据元素与集合的关系得出其他元素；
（2）利用反证法结合元素与集合的关系求解即可.
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素.
【例2-2】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
【变式2-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数
【解题方法】分类讨论+判别法
【例3-1】（23-24高三上·黑龙江双鸭山）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A．B．0或C．1D．0或1
【答案】B
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了.
【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；
（1）当时，方程化为，只有一个解；
（2）当时，若只有一个解，只需，即；
综上所述，可知的值为或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.
【变式3-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】因集合是方程的解集，欲使集合至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对进行讨论求解即可．
【详解】解：集合至多有一个元素，
分类讨论：
①当时，只有一个元素，符合题意；
②当时，要至多有一个元素，
则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根，
，得：，，
综上所述：或．
故选：．
【点睛】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题．
【例3-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为一元二次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
【变式3-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若A中只有一个元素，求集合A；
（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}；（2）.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）方程只有一个根，对二次项系数a是否为0，进行分类讨论即可求解；
（2）二次项系数a是否为0，进行分类讨论即可求解.
【详解】(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
所以a≤
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围为.
【考点题型四】集合中元素的特性
【解题方法】集合的互异性，确定性，无序性，特别注意互异性
【例4-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ）
A．1B．−2C．D．2
【答案】ABD
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可.
【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错；
当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错；
当a=−1时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对；
当a=2时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错.
故选：ABD
【变式4-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 .
【答案】或5
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据题意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互异性分析判断即可.
【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且，
所以，或，
当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意，
当时，得或，
当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去，
当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意，
综上，或.
故答案为：或5
【例4-2】（23-24高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得
【详解】解：因为，所以
①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即
②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．
当时，集合为，元素重复，所以不成立，即
③若，解得或，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数的取值集合为
【变式4-2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，若，求实数a的值．
【答案】.
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，列方程求解并验证作答.
【详解】集合，因，则或，
解得：，此时，矛盾，即，
解得：，则有，当时，，符合题意，则，
所以实数a的值是.
【考点题型五】列举法，描述法
【解题方法】抓住集合表示方法的定义
【例5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.
【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合，
对于AB，集合AB中的有负数，AB不是；
对于C，集合中没有，C不是；
对于D，满足对集合的描述，D是.
故选：D
【变式5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合．
【答案】
【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合
【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可．
【详解】解：∵，
∴，
即．
∵，
∴．
【例5-2】（23-24高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合
【分析】根据题意，分别用列举法表述即可．
【详解】（1），∴或，；
（2），，．
【变式5-2】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：C
【考点题型六】子集（真子集）个数
【解题方法】可以用公式计算或者直接列举
【例6-1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解.
【详解】解：因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，
所以，
解得.
故选：A
【变式6-1】.（23-24高一上·上海嘉定）若集合有且仅有两个子集，则实数 ；
【答案】0或2或18
【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.
【详解】∵集合有且仅有两个子集,
∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.
当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;
当时, 令, 解得或.
综上, 或或.
故答案为：0或2或18.
【例6-2】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）0或1.
【知识点】根据集合中元素的个数求参数、空集的性质及应用、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】(1)根据给定条件可得，再借助一元二次方程根的判别式列式作答；
(2)根据给定条件确定方程只有一个根或者有两个等根即可得解.
【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围为；
（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根，
当时，集合满足题意，则，
当时，则，，集合满足题意，即，
所以实数a的值为0或1.
【变式6-2】.（23-24高一上·贵州·阶段练习）满足的集合有 个.
【答案】
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合的基本运算求出集合M即可．
【详解】，那么集合M中一定含所有1，2，3这三个元素，可以得1种.
M，那么除去1，2，3这三个元素，
还可以从4，5，6中取1个元素来构成机构集合的有3种，取2个元素的有3种，
所以满足题意的有种.
故答案为：7.
【考点题型七】根据集合关系求参数
【解题方法】数轴法，列举法，注意不要忽视空集
【例7-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围．
【答案】或
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据题意分和讨论，在时分集合为单元素集和双元素集两种讨论即可.
【详解】由题意知，若，则，解得，
若， ，解得或，
当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，
当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去，
当，即，解得或，则由题意知，
则1,4为方程两根，根据韦达定理得，
综上所述的范围是或.
【变式7-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果．
【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立；
若，解得，此时,，,,，不成立；
若，解得，此时,，,3,，不成立；
综上所述：．
故选：B．
【例7-2】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，，
（1）若A为空集，求实数a的取值范围；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】空集的概念以及判断、根据集合的包含关系求参数
【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答；
(2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】（1）因是空集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
（2）且B是A的真子集，则，解得，
显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，
所以实数a的取值范围.
【变式7-2】.10．（23-24高一上·广东东莞）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【例7-3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知，，且，求的取值范围.
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、描述法表示集合
【分析】由，得到或或，分类讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
因为，可得或或，
当时，则，解得；
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，无解.
综上可得，实数的范围是.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及利用集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
【变式7-3】（23-24高一·全国·课后作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若BA，求实数a的取值范围．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】对集合B分两种情况：B＝∅或B≠∅，进行讨论：
当B＝∅时，利用判别式直接求解；
当B≠∅时，根据x2－4x＋a＝0根的情况即可求解.
【详解】由已知得A＝{1，2}．若BA，则集合B有两种情况，B＝∅或B≠∅
当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴，∴a＞4．
当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；
若Δ＞0，则1，2是方程x2－4x＋a＝0的根，
但由根与系数的关系知矛盾，故Δ＞0不成立．
∴当B≠∅时，a＝4．
综上所述，满足BA时，a的取值范围是．
【考点题型八】集合的综合运算
【解题方法】并交补定义
【例8-1】（23-24高三下·河南·开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由，可得，
故选：B
【变式8-1】（23-24高三上·湖南株洲）设全集，集合 ，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、并集的概念及运算
【分析】先求出集合B，结合补集和并集运算即可.
【详解】
,
.
故选：D.
【例8-2】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，或，当时.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【知识点】并集的概念及运算、交并补混合运算、补集的概念及运算
【分析】（1）求出集合A，再根据交集运算即可；
（2）先求实数上B的补集，再求并集运算即可.
【详解】（1）当时，，
或，
或；
（2）或，
，
.
【变式8-2】（23-24高一上·陕西宝鸡）设集合，，求，， .
【答案】，，或
【知识点】交并补混合运算
【分析】分别利用交集，并集，补集的运算进行求解即可.
【详解】由集合，，
则 ，或
因此可得或
又或，
因此或或或.
【考点题型九】根据集合的运算结果求参数
【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数
【例9-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，.
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解.
【详解】（1）.
当时，.
所以.
（2）因为，所以.
因为，所以集合B可能为，，或.
当时，只需，解得：；
当或，则必有，所以或.
若，有，不符合题意；若，有，不符合题意；
当时，则1和2是的两根.
所以，无解.
故实数的取值范围为.
【变式9-1】.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或或或或
.【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；
（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.
【详解】由题意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
当时，则，解得，
此时，满足，
当时，则，解得，
此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）
，
所以 ，
对于方程，
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需且，
将2代入方程得，解得或，
将代入方程得，解得，
所以且且，
综上可知，的取值范围是：
或或或或
【例9-2】（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知集，，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数
【解析】（1）当，在，然后针对与分类讨论求解；
（2）若，则，，若，则只需或，然后解出的取值范围.
【详解】解：（1）∵，∴或，
∵，则,
当时，，即，
当时，，，解得.
综上所述：.
（2）由题可知，，，解得.
若时，则只需:或，
解得:.
∴ 当，的取值范围为.
【点睛】本题考查集合的运算结果求参数的取值范围问题，难度一般，解答时，因为空集是任何集合的子集，所以解答时注意空集的特殊性.
【变式9-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合或，集合．
（1）若求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数
【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；
（2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解.
【详解】（1）当时，集合或，，
可得，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，可得，
当时或，可得，
综上所述：或．
所以实数a的取值范围为.
【考点题型十】实际问题中的集合问题
【解题方法】利用图解
【例10-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A．3B．9C．19D．14
【答案】C
【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用
【分析】利用文氏图，列式求解.
【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛的有人，
故选：C．
【变式10-1】（2024·北京东城·模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【知识点】集合的应用、利用Venn图求集合
【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.
【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
【例10-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 .
【答案】40
【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用
【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.
【详解】设为七宝中学高一某班全体学生，
集合参加大舞台的学生，
集合参加风情秀的学生，
设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，
则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，
得，
解得，
所以总的人数为人.
故答案为：
【变式10-2】（23-24高一上·江西南昌）某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有 人
【答案】5
【知识点】利用Venn图求集合
【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.
【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，
故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名，
则没有参加任何一科竞赛的学生有名，
故答案为：5.
【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.
【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题）
【例11-1】（23-24高一上·上海黄浦）设，若，则称A为集合M的元“好集”．
(1)写出实数集的一个二元“好集”；
(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；
(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3).
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系
【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”；
（2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证；
（3）记正整数集上的一个三元“好集”为，利用条件可推得的值，进而求得，从而得到正整数集上的所有三元“好集”.
【详解】（1）因为，
所以是实数集的一个二元“好集”.
（2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设，
则有，故，得，
因为0
（3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设，
则有，故，
又因为且，所以，
将其代入得，故，
所以正整数集上的所有三元“好集”为.
【变式11-1】.（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3).
【知识点】集合新定义
【分析】（1）由性质定义判断，
（2）由性质定义证明，
（3）由（2）得，再由性质定义求解，
【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质
理由如下：
对集合，由于
所以集合具有性质；
对集合，由于，故集合不具有性质.
（2）由于，则 ，故，
，故得证.
（3）由于，故，
又，故，
又，故，
.
因此集合.
【例11-2】（23-24高一上·北京）给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：.
【答案】(1)不是闭集合，B为闭集合，证明见解析
(2)不一定，理由见解析
(3)证明见解析
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义
【分析】（1）根据闭集合的定义判断即可；（2）举例子，，由，即可求解；（3）利用反证法，假设，由条件可得存在，，，，可得或，与和为闭集合矛盾，即可求证.
【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合；
任取，，设，，，，则且，所以，同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定；
不妨令，，则由（1）可知， D为闭集合，同理可证为闭集合，因为2，3，，因此，不一定是闭集合，所以若集合C，D为闭集合，则不一定为闭集合；
（3）不妨假设，则由，可得存在且，故.同理，存在且，故，因为，所以或.若，则由C为闭集合且，得，与矛盾.若，则由D为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故.
【变式11-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”
(2)证明见解析
(3)7
【知识点】集合新定义
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
【详解】（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
（2）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7
提升训练
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合
【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】因为，所以，因为，所以
所以，故A错误，B正确；
所以，故C错误；
所以，故D错误；
故选：B．
2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素.
【详解】因为，即，所以的可能取值为，
分别代入可得，所以集合中共有8个元素.
故选：D
3．（21-22高一上·江西赣州·周测）已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解.
【详解】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，
当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，所以，解得．
综上，实数a的取值范围为．
故选：D
4．（2023·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
5．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证.
【详解】因为，所以.
所以或.
若，此时，，不成立，故不合题意；
若，此时，，成立.
故.
故选：C
6．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．1个B．2个C．4个D．8个
【答案】B
【知识点】列举法表示集合、子集的概念
【分析】根据题意得到A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，从而得到集合A的个数为2个.
【详解】集合A满足，，
∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，
一定不包含4和6，
所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为
故选：B．
7．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27B．23C．25D．29
【答案】A
【知识点】容斥原理的应用
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，
同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A.
8．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解．
【详解】由得，所以或，
解得或，所以.
故选：D．
二、多选题
9．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解.
【详解】因为，
对于选项A：可知，故A错误；
对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误；
对于选项C：可知为的真子集，故C正确；
对于选项D：因为为的真子集，且，
所以，故D正确；
故选：CD.
10．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义
【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可.
【详解】，
故，故A正确；
由新定义可知，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
11．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ．
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案.
【详解】因为，可得，所以，
当时，，显然不成立；
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
12．（21-22高一上·云南文山·期末）已知集合且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】直接根据集合的包含关系得到参数范围.
【详解】集合且，则.
故答案为：
四、解答题
13．（24-25高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．
【答案】
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，
所以A中只有一个元素，
若，此时，符合题意；
若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根，
即，即，
综上满足条件的实数组成的集合为.
14．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围
(2)若，求实数的值
【答案】(1)
(2)2
【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）利用判别式计算即可；
（2）直接代入1计算即可.
【详解】（1）若，则，
即实数的取值范围为；
（2）若，则
即实数的值为2.
15．（21-22高一·全国·课后作业）已知为实数，，．
(1)当时，求的取值集合；
(2)当时，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，由，得，所以．
综上，的取值集合为．
16．（22-23高一上·北京平谷·期末）设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)4；
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、集合新定义
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.
【详解】（1）因为，所以，
所以；
（2）设，不妨设，
因为，
所以中元素个数大于等于4个，
又，则，此时中元素个数等于4个，
所以生成集B中元素个数的最小值为4；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集由组成，
又，
所以，
若，又，则，故，
若，又，则，故，
所以，又，则，而，
所以不成立，
所以假设不成立，
故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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