人教版八年级数学上册重难考点专题01全等三角形的性质(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题01全等三角形的性质(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)，共60页。

知识串讲
（一）全等图形
（1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
（2）全等图形特征：
①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
（二）全等三角形
（1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’
读作：∆ABC全等于∆A’B’C’
对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’
对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
（三）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
考点训练
考点1：全等图形的识别
典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级期中）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
考点2：网格图中的角度问题
典例2：（2023春·七年级课时练习）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=___________度．
【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3= __________度．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.
【变式3】（2022·河南南阳·模拟预测）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
考点3：全等三角形的对应元素
典例3：（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠α=______°
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC与△BAD全等，可表示为________，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________．
【变式2】（2021秋·八年级单元测试）以下说法中，正确的是（填写序号）__________．
①周长相等的两个三角形全等；
②有两边及一角分别相等的两个三角形全等；
③两个全等三角形的面积相等；
④面积相等的两个三角形全等．
【变式3】（2019秋·八年级单元测试）如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
考点4：全等三角形的性质应用——求边或角
典例4：（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，△CDF≌△BAE．BC=15cm,EF=3cm，那么CE的长为________cm．
【变式1】（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）如图，点A坐标为−1,0，点B坐标为0,2，若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为________．
【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=90°，则∠EAC的度数为_____．
【变式3】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数是_____．
考点5：全等三角形的性质应用——证明题
典例5：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．
【变式1】（2022春·广东深圳·七年级校联考期中）如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．
(1)求证：AB∥CD．
(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度．
【变式2】（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，求证：
(1)AF∥DE、BF∥CE；
(2)AC=BD
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：∠CAE=∠BAD
考点6：全等三角形的性质应用——位置关系
典例6：（2022秋·全国·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且△ACO≌△BDO．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；
(2)AC∥BD．
【变式1】（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知△ABC≌△DEC，且点B，C，D在同一条直线上，延长DE交AB于点F．
(1)求证：DF⊥AB；
(2)已知BD=8，CE=3，求AE的长度．
【变式3】（2023秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
同步过关
一、单选题
1．（2023秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC ≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
2．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图：△ABC≌△ADE，∠C=115°，则∠E的度数为( )
A．30°B．35°C．105°D．115°
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．60°C．54°D．50°
6．（2023·上海·九年级专题练习）如图，ΔABC≌ΔADE，∠B=100°，∠BAC=40°，则∠AED=（ ）
A．70°B．45°C．40°D．50°
7．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，ΔABC≌ΔADE，已知在ΔABC中，AB边最长，BC边最短，则ΔADE中三边的大小关系是（ ）
A．DE8．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学阶段练习）用两个全等的直角三角形，拼下列图形，①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是 （ ）
A．①②③B．②③C．③④⑤D．③④⑥
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D=70°，∠CAB=50°，那么∠DAB=（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
10．（2023秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DCB，点A．D是对应点，若AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，则CD的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
11．（2022秋·八年级单元测试）已知：如图，点D、E分别在AB、AC边上，△ABE≌△ACD，AC=15，BD=9，则线段AD的长是（）
A．6B．9C．12D．15
12．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．75°
13．（2023·台湾·中考真题）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115B．120C．125D．130
14．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．∠BAD=∠ACDD．BD=CD
15．（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2B．2或73C．73或32D．2或73或32
二、填空题
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠BAE的度数为______°．
17．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期中）如图所示，在四边形ABCD中，△ABD≌△CDB,AB=4cm,BD=3.5cm,AD=2cm,则CD的长为___________cm．
18．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，△ABC≌△BDE，点B、C、D在一条直线上，AC、BE交于点O，若∠AOE=95°，则∠BDE=_____°．
19．（2022秋·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）若△ ABC≌△ DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为________°．
20．（2023秋·云南普洱·八年级校考期中）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=_____．
21．（2023秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠C＝80°，则∠DEB＝_____．
22．（2023秋·广东东莞·八年级统考期末）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A=53°，∠B=22°，则∠C=__________°．
23．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）.已知△ABC≅△A'B'C',△A'B'C'的周长为32cm,A'B' =9cm,B'C'=12cm,则AC =_______.
24．（2022·山东济宁·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为AB边上一点，将△APB沿PB翻折，点A落在点A'处，当点A'在矩形的对角线上时，AP的长度为______．
25．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝9，延长BC到E，使CE＝3，连接DE.动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，当t为______秒时，以P、A、B三点构成的三角形和△DCE全等.
三、解答题
26．（2023春·七年级课时练习）如图，若△ADE≌△BCE，∠1与∠2是对应角，AD与BC是对应边，写出其他的对应边及对应角．
27．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
28．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
29．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEF，∠B=∠E=90°，∠A=61°，AB=5，BC=9，CF=6．
(1)求∠D，∠DFE的度数；
(2)求线段DE，CE的长．
30．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点C在线段AB上，△ACD≌△BEC，∠A=60°，求证：△DCE是等边三角形．
31．（2023秋·全国·八年级期末）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝80°，∠E＝40°，求∠CDE的度数．
32．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．
33．（2022秋·陕西安康·八年级统考期中）如图已知△ABC≌△EFC，且点B、C、E在一条直线上，CF=5cm，∠EFC=52∘，求∠A的度数和BC的长．
34．（2023春·七年级课时练习）如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B=∠D=90°,ΔABC≅ΔCDE,AB=5，BC=12,CE=13．
(1)求△ABC的周长．
(2)求△ACE的面积．
35．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．求∠B的度数．
专题01 全等三角形的性质
考点类型
知识串讲
（一）全等图形
（1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
（2）全等图形特征：
①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
（二）全等三角形
（1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’
读作：∆ABC全等于∆A’B’C’
对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’
对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
（三）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
考点训练
考点1：全等图形的识别
典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．
【答案】（1）（4）（5）（6）．
【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等．
故答案是：（1）（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级期中）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出∠A的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，∠A=180°−∠B−∠C=180∘−110∘−45∘=25∘，
∴与①中的∠A相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点睛】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
考点2：网格图中的角度问题
典例2：（2023春·七年级课时练习）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=___________度．
【答案】135
【分析】作辅助线，使△ADB为等腰直角三角形，根据全等三角形△DFB≌△BEC，可得到∠DBF=∠2，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，∠DAB=∠DBA=45°，
由图可知，在△DFB和△BEC中，
DF=BE∠DFB=∠BEC=90°FB=EC，
∴△DFB≌△BECSAS，
∴∠DBF=∠2，
∵∠DBA=45°，
∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°−45°=135°，
故答案为：135．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3= __________度．
【答案】90
【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1=45°,根据网格的特点可知∠3=45°，即可求解．
【详解】解：如图，
在△ABC与△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠1=∠4，
∵FD∥CG，
∴∠2=∠FDC，
同理可得△DCG≌△CEB，
∴EC=ED，∠2=∠BEC，
∵∠BEC+∠ECB=90°，
∴∠2+∠EBC=90°，
∴∠ECD=90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
即∠4+∠FDC=∠1+∠2=45°，
根据网格的特点可知∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2=45°是解题的关键．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.
【答案】45°/45度
【分析】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，则∠1=∠3，根据外角的性质卡得∠4=∠2+∠3，即可求解．
【详解】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，
∴∠1=∠3，
∵∠4=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=∠4=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出∠1=∠3是解题的关键．
【变式3】（2022·河南南阳·模拟预测）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出∠1+∠3的值，即可得出答案；
【详解】如图所示，
在△ACB和△DCE中，
{AB=DE∠A=∠DAC=DC，
∴△ACB≅△DCE(SAS)，
∴∠ABE=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°；
故答案是：135°．
【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
考点3：全等三角形的对应元素
典例3：（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠α=______°
【答案】50°
【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到∠α的对应角即可．
【详解】解：如图，∠α是边a和c的夹角，左图是50°，
故∠α=50°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC与△BAD全等，可表示为________，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________．
【答案】 △ABC≌△BAD ∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD AB与BA，BC与AD
【分析】由△ABC≌△BAD，结合图形可得其余的对应角与对应边．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，
∴其余的对应角是∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
故答案为：△ABC≌△BAD，∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，AB与BA，BC与AD
【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2021秋·八年级单元测试）以下说法中，正确的是（填写序号）__________．
①周长相等的两个三角形全等；
②有两边及一角分别相等的两个三角形全等；
③两个全等三角形的面积相等；
④面积相等的两个三角形全等．
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定及性质即可判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：周长相等的两个三角形不一定全等，如一个三角形的三边长为3，6，8，另一个三角形的边长为4，5，8，故①错误；
有两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，如两个直角三角形有一个直角对应相等，一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形一条直角边和斜边相等，则这个两个三角形不全等，故②错误；
两个全等三角形的面积相等，故③正确；
面积相等的两个三角形不一定全等，如两个三角形的同底等高，而这两个三角形不一定全等，故④错误；
故答案为：③．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定定与性质解答．
【变式3】（2019秋·八年级单元测试）如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
【答案】AB和AC,AD和AE,BD和CE
【分析】根据全等三角形的对应角所对的边为对应边求解即可．
【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键.
考点4：全等三角形的性质应用——求边或角
典例4：（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，△CDF≌△BAE．BC=15cm,EF=3cm，那么CE的长为________cm．
【答案】9
【分析】根据全等三角形得到CF=BE，结合已知线段，利用线段的和差计算可得结果．
【详解】解：∵△CDF≌△BAE，
∴CF=BE，
∵BC=15cm，EF=3cm，
∴CF=BE=12BC−EF=6cm，
∴CE=CF+EF=6+3=9cm，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，灵活运用全等三角形的性质得到CF=BE是本题的关键．
【变式1】（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）如图，点A坐标为−1,0，点B坐标为0,2，若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为________．
【答案】1,2或1,0/1,0或1,2
【分析】根据题意可得OA=1,OB=2，然后分两种情况讨论：若△BOC≌△BOA，若△OBC≌△BOA，结合全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵点A坐标为−1,0，点B坐标为0,2，
∴OA=1,OB=2，
如图，若△BOC≌△BOA，
∴OC=OA=1，
∴点C的坐标为1,0；
如图，若△OBC≌△BOA，
∴∠OBC=∠AOB=90°,BC=1，
∴点C的坐标为1,2；
故答案为：1,2或1,0
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=90°，则∠EAC的度数为_____．
【答案】40°/40度
【分析】由全等三角形的性质可得∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAE，根据三角形内角和定理求得∠DAE，结合∠BAE=90°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAE，
∵∠E=20°，
∴∠DAE=180°−∠D−∠E=180°−30°−20°=130°，
∴∠BAC=130°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=130°−90°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式3】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数是_____．
【答案】25°/25度
【分析】由全等的性质得出∠BCA=∠ECD，从而可证∠BCE=∠ACD=65°．再由AF⊥CD，即得出∠CAF=90°−∠ACD=25°．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠BCA=∠ECD，
∴∠BCA−∠ECA=∠ECD−∠ECA，即∠BCE=∠ACD=65°．
∵AF⊥CD，
∴∠CAF=90°−∠ACD=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查全等的性质，垂线的定义，求一个角的余角．熟练掌握全等三角形对应角相等是解题关键．
考点5：全等三角形的性质应用——证明题
典例5：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC≅△DAE，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴BC=DE+CE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠E，
又∵△ABC≅△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACB=90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式1】（2022春·广东深圳·七年级校联考期中）如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．
(1)求证：AB∥CD．
(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)BE=8.5
【分析】（1）根据全等三角形的性质得∠B=∠C，根据平行线的判定即可得AB∥CD；
（2）根据全等三角形的性质得BE=CF，根据线段之间的的关系得CE=BF，可求出CE的长，即可得．
（1）
证明：∵△ABE≌△DCF，
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD．
（2）
解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，
∴CE=BF，
∵BC=10，EF=7，
∴CE=BF=12×10−7=1.5，
∴BE=BC−CE=10−1.5=8.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式2】（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，求证：
(1)AF∥DE、BF∥CE；
(2)AC=BD
【答案】(1)过程见解析
(2)过程见解析
【分析】对于（1），根据全等三角形的性质得∠A=∠D，∠ABF=∠DCE，即可得出∠CBF=∠BCE，再根据平行线的判定得出答案即可；
对于（2），根据全等三角形的对应边相等得AB=CD，进而得出答案．
（1）
∵△ABF≌△DCE，
∴∠A=∠D，∠ABF=∠DCE，
∴180°-∠ABF=180°-∠DCE，
即∠CBF=∠BCE，
∴AF∥DE，BF∥CE；
（2）
∵△ABF≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定等，灵活选择性质和判定定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：∠CAE=∠BAD
【答案】证明见解析
【分析】根据△ABC≌△ADE，可得∠BAC=∠DAE，即可求证．
【详解】证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
考点6：全等三角形的性质应用——位置关系
典例6：（2022秋·全国·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且△ACO≌△BDO．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；
(2)AC∥BD．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上；
（2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD．
【详解】（1）证明：∵△ACO≌△BDO，
∴∠AOC=∠BOD．
∵点A，O，B在同一直线上，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD+∠AOC＝180°，，
∴点C，O，D在同一直线上；
（2）证明：∵△ACO≌△BDO，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．
【答案】AD//BC
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ADF=∠CBE，进而得出∠ADB=∠CBD，利用平行线判定解答即可．
【详解】解：AD与BC的位置关系为AD//BC．
∵ΔADF≅ΔCBE，
∴∠ADF=∠CBE．
又∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠CBD．
∴AD//BC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题关键是根据全等三角形的性质得出∠ADF=∠CBE．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知△ABC≌△DEC，且点B，C，D在同一条直线上，延长DE交AB于点F．
(1)求证：DF⊥AB；
(2)已知BD=8，CE=3，求AE的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由三角形全等的性质可得出∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠EDC．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出∠BCA=∠ECD=90°，即∠CDE+∠CED=90°．由对顶角相等即得出∠AEF=∠CED，从而即可求出∠AEF+∠BAC=90°，即可证明DF⊥AB；
（2）由三角形全等的性质可得出BC=CE=3，AC=DC，从而可求出DC=BD−BC=5，即得出AC=DC=5，进而可求出AE=AC−CE=2．
【详解】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠EDC．
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠CDE+∠CED=90°．
∵∠AEF=∠CED，
∴∠AEF+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，即DF⊥AB；
（2）∵△ABC≌△DEC，
∴BC=CE=3，AC=DC，
∴DC=BD−BC=8−3=5
∴AC=DC=5，
∴AE=AC−CE=5−3=2．
【点睛】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
【变式3】（2023秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见解析
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案；
（2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°，∠C=∠D,从而可得∠CEB+∠C=90°，再证明∠DEG+∠D=90°,从而可得答案.
【详解】解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3，
∴BE=AB=2，BD=BC=3，
∵点E在BD上，
∴DE=BD-BE=3-2=1；
（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE.
理由如下：如图，延长CE交AD于G,
∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∠C=∠D,
∴∠CEB+∠C=90°，
∵∠DEG=∠CEB,
∴∠DEG+∠D=90°,
∴∠DGE=90°，
∴AD⊥CE.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是解题的关键.
同步过关
一、单选题
1．（2023秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC ≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】D
【分析】由全等的性质可得∠B=∠ADE，根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=180°，∠CDE+∠ADE+∠DAC+∠C=180°，等量代换可得答案.
【详解】解：∵△ABC≅△ADE
∴∠B=∠ADE
在△ABC中，∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=180°
在△ADC中，∠EDC+∠ADE+∠DAC+∠C=180°
∴∠BAD=∠EDC=70°
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180度，灵活利用这一性质求角度是解题的关键.
2．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意；
B、两个是全等图形，不符合题意；
C、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意；
D、两个图形是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查全等图形问题，关键根据全等图形的定义判断．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图：△ABC≌△ADE，∠C=115°，则∠E的度数为( )
A．30°B．35°C．105°D．115°
【答案】D
【分析】由全等三角形的性质，得到∠E=∠C，即可得到答案
【详解】解：根据题意，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C=115°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的对应角相等，解题的关键是熟记所学的性质进行判断．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用全等形的定义解答即可．
【详解】解：只有C选项与图1形状、大小都相同．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了全等形的定义，形状、大小都相同图形为全等形．
5．（2022秋·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．60°C．54°D．50°
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠1是a、b边的夹角，可得∠1,∠2是对应角，则∠1=∠2，从而可得答案．
【详解】解：∵如图，两个三角形全等，
∴∠1,∠2是对应角，则∠1=∠2，
∵∠2=180°−54°−76°=50°，
∴∠1的度数是50°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
6．（2023·上海·九年级专题练习）如图，ΔABC≌ΔADE，∠B=100°，∠BAC=40°，则∠AED=（ ）
A．70°B．45°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，再利用三角形内角和解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°，
∴∠AED＝180°−40°−100°＝40°，
故选：C．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D．
7．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，ΔABC≌ΔADE，已知在ΔABC中，AB边最长，BC边最短，则ΔADE中三边的大小关系是（ ）
A．DE【答案】A
【分析】先根据全等三角形的性质，可知对应边相等，再根据已知作出判断即可.
【详解】解：∵在△ABC中，AB边最长，BC边最短，AB的对应边是AD，BC的对应边是DE，
∴△ADE中三边的大小关系是DE＜AE＜AD
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，确认两条线段或两个角相等，往往利用全等三角形的性质求解，关键是找准对应边．
8．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学阶段练习）用两个全等的直角三角形，拼下列图形，①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是 （ ）
A．①②③B．②③C．③④⑤D．③④⑥
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形和等边三角形的性质判断．
【详解】解：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形；由于等边三角形三边相等，故两个全等的直角三角形也不一定能拼成菱形和正方形.
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的拼接问题以及特殊四边形的性质．要理解全等三角形的性质，会解决一些简单的拼接计算问题.
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D=70°，∠CAB=50°，那么∠DAB=（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAB=50°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵△ABC≌△BAD，点A和B，点C和点D是对应点，∠CAB=50°，
∴∠DBA=∠CAB=50°，
∴∠DAB=180°−70°−50°=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．（2023秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DCB，点A．D是对应点，若AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，则CD的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出DC=AB，代入求出即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DC=AB，
∵AB=3cm，
∴DC=3cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，能运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
11．（2022秋·八年级单元测试）已知：如图，点D、E分别在AB、AC边上，△ABE≌△ACD，AC=15，BD=9，则线段AD的长是（）
A．6B．9C．12D．15
【答案】A
【详解】解∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE，AB=AC=15，
∴AD=AB﹣BD=15﹣9=6．
故选A．
12．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．75°
【答案】C
【分析】首先画出图形，连接OA、OC、OE、OD、OB，根据切线性质，∠P+∠AOB＝180°，可知∠AOB＝140°，再根据CD为切线可知∠COD＝12∠AOB．
【详解】解：由题意得，连接OA、OC、OE、OD、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝12∠AOB，
∵∠APB＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴∠COD＝70°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查切线的性质和全等三角形的性质, 掌握切线的性质是解题的关键.
13．（2023·台湾·中考真题）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115B．120C．125D．130
【答案】C
【详解】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
详解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选C．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
14．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．∠BAD=∠ACDD．BD=CD
【答案】C
【分析】证△ABD≌△ACD(SAS)，得∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，则AD⊥BC，当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=12×180°=90°，
∴AD⊥BC，
当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明ΔABD≅ΔCAD是解题的关键．
15．（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2B．2或73C．73或32D．2或73或32
【答案】A
【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x-2与4是对应边，或3x-2与5是对应边，计算发现，3x-2=5时，2x-1≠4，故3x-2与5不是对应边．
【详解】解：∵△ABC三边长分别为3，4，5，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，
①3x-2=4，解得：x=2，
当x=2时，2x+1=5，两个三角形全等．
②当3x-2=5，解得：x=73，
把x=73代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等．
故选A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，分类讨论正确得出对应边是解题关键．
二、填空题
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠BAE的度数为______°．
【答案】115
【分析】由三角形内角和定理和全等三角形的性质进行计算．
【详解】∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∵∠DAC=25°，
∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°．
故答案为：115．
【点睛】考查的是全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等．
17．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期中）如图所示，在四边形ABCD中，△ABD≌△CDB,AB=4cm,BD=3.5cm,AD=2cm,则CD的长为___________cm．
【答案】4
【分析】由△ABD≌△CDB,AB=4cm，再利用全等三角形的对应边相等即可得到答案．
【详解】解：∵△ABD≌△CDB,AB=4cm，
∴CD=AB=4cm．
故答案为：4.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应边相等”是解本题的关键．
18．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，△ABC≌△BDE，点B、C、D在一条直线上，AC、BE交于点O，若∠AOE=95°，则∠BDE=_____°．
【答案】95
【详解】试题分析：根据全等得出∠A=∠EBD，∠ABC=∠BDE，求出∠BDE=∠ABC=∠ABO+∠EBD=∠ABO+∠A，即可求出答案．
解：∵△ABC≌△BDE，
∴∠A=∠EBD，∠ABC=∠BDE，
∵∠AOE=95°，
∴∠BDE=∠ABC=∠ABO+∠EBD
=∠ABO+∠A
=180°﹣∠AOB
=180°﹣（180°﹣95°）
=95°，
故答案为95．
考点：全等三角形的性质．
19．（2022秋·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）若△ ABC≌△ DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为________°．
【答案】50
【分析】由三角形内角和定理可以求得∠C，△ ABC≌△ DEF求得∠F
【详解】解：在△ ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=180°−60°−70°=50°
又∵△ABC≌△DEF
∴∠F=∠C=50°
故答案为：50
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及全等的性质，找准对应角是解题关键．
20．（2023秋·云南普洱·八年级校考期中）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=_____．
【答案】60
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵两个三角形全等
∴∠α=180°−65°−55°=60°
故答案为：60．
【点睛】本题考查了全等三角形的角度问题，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
21．（2023秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠C＝80°，则∠DEB＝_____．
【答案】20°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠AED＝80°，AC＝AE，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠DEB＝180°−80°−80°＝20°，
故答案为20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
22．（2023秋·广东东莞·八年级统考期末）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A=53°，∠B=22°，则∠C=__________°．
【答案】22
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C．
【详解】∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C
∵∠B=22°，
∴∠C=22°．
故答案为:22
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应角是解题的关键．
23．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）.已知△ABC≅△A'B'C',△A'B'C'的周长为32cm,A'B' =9cm,B'C'=12cm,则AC =_______.
【答案】11cm
【分析】由全等三角形对应边相等，可得AC=A'C'，由已知条件求出A'C'即可.
【详解】∵△A'B'C'的周长为32cm,A'B' =9cm,B'C'=12cm
∴A'C'=32−9−12=11cm
又∵△ABC≅△A'B'C'
∴AC=A'C'=11cm
【点睛】本题考查全等三角形的性质：对应边相等，熟练掌握全等性质是解题的关键.
24．（2022·山东济宁·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为AB边上一点，将△APB沿PB翻折，点A落在点A'处，当点A'在矩形的对角线上时，AP的长度为______．
【答案】32或94
【分析】分点A'落在AC上和点A'落在BD上两种情况求解即可．
【详解】当点A'落在AC上时，如图1，
由翻折知，BP是A与A′的对称轴，
∴BP⊥AA′，
设BP交AC与点E，则∠AEB=90°，
∴∠ABP+∠APE=90°，
∵∠EAP+∠APE=90°，
∴∠ABP=∠EAP，
∴tan∠ABP=APAB= tan∠EAP=DCAD，
∴AP3=34，
∴AP=94；
当点A'落在BD上时，如图2，
由翻折知，△BAP≌△BA′P，
∴∠BAP=∠BA′P=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴BD=32+42=5．
∵sin∠ADB=PA'PD=ABBD，
∴AP4−AP=35，
∴y=32．
综上可知，AP的长度为32或94．
故答案为：32或94．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
25．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝9，延长BC到E，使CE＝3，连接DE.动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，当t为______秒时，以P、A、B三点构成的三角形和△DCE全等.
【答案】1或7
【分析】若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间t＝路程÷速度，可求t的值.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝9，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCE＝∠BAD＝90°，
若△ABP与△DCE全等，
∴BP＝CE＝3或AP＝CE＝3，
当BP＝CE＝3时，则t＝1秒，
当AP＝CE＝3时，则t＝9+6+9﹣3＝21，则t＝7秒，
∴当t为1秒或7秒时，△ABP和△DCE全等.
故答案为1或7.
【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
三、解答题
26．（2023春·七年级课时练习）如图，若△ADE≌△BCE，∠1与∠2是对应角，AD与BC是对应边，写出其他的对应边及对应角．
【答案】AE与BE是对应边，DE与CE是对应边，∠D与∠C是对应角，∠AED与∠BEC是对应角．
【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．
【详解】解：因为△ADE≌△BCE，
所以AE与BE是对应边，
DE与CE是对应边，
∠D与∠C是对应角，
∠AED与∠BEC是对应角．
【点睛】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．
27．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【答案】（1）AE=3；（2）∠AED=80°．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得BE=BC=3，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得∠DBE=∠C=55°，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵△ABC≅△DEB,BC=3，
∴BE=BC=3，
∵AB=6，
∴AE=AB−BE=6−3=3；
（2）∵△ABC≅△DEB，
∴∠DBE=∠C=55°，
∵∠D=25°，
∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
28．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
【答案】AB=DE，证明见解析
【分析】由已知条件易证得∠B= ∠D，∠BCA =∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB= ED．
【详解】∵∠1=∠2，∠AFD=∠BFC，
∴∠B=∠D，
又∵∠2=∠3，
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，
即∠BCA=∠DCE，
在△ABC和△EDC中，
∠B=∠D∠BCA=∠DCEAB=ED
∴△ABC≌△EDC (AAS)，
∴AB=ED．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是证得∠B=∠D，∠BCA=∠DCE．
29．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEF，∠B=∠E=90°，∠A=61°，AB=5，BC=9，CF=6．
(1)求∠D，∠DFE的度数；
(2)求线段DE，CE的长．
【答案】(1)∠D=61°，∠DFE=29°
(2)DE=5，CE=3
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，得出∠A=∠D=61°，根据直角三角形的两锐角互余，即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等，得出AB=DE=5，BC=EF=9，根据线段的和差关系即可求CE的长．
【详解】（1）解∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=61°．
在△DEF中，
∵∠E=90°，∠D=61°，
∴∠DFE=90°-∠D=90°-61°=29°．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=5，BC=EF=9．
∴CE=EF-CF=9-6=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
30．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点C在线段AB上，△ACD≌△BEC，∠A=60°，求证：△DCE是等边三角形．
【答案】证明见解析
【分析】根据△ACD≌△BEC，得到CD=CE，∠1=∠2，利用三角形外角性质得到∠3=∠A=60°，即可证明结论．
【详解】证明：∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，∠1=∠2，
∵∠2+∠3=∠1+∠A，
∴∠3=∠A=60°，
又∵CD=CE，
∴△DCE是等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等性质，等边三角形的判定和三角形外角性质，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．
31．（2023秋·全国·八年级期末）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝80°，∠E＝40°，求∠CDE的度数．
【答案】∠CDE＝60°
【分析】利用全等三角形的性质，把角转化一个三角形中，再利用三角形内角和定理来解即可
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠CDE＝∠A，∠E＝∠B，
∴∠CDE＝∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣80°﹣40°＝60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和问题，掌握全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，利用三角形内角和解决问题是解题关键．
32．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC≅△DAE，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴BC=DE+CE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠E，
又∵△ABC≅△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACB=90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
33．（2022秋·陕西安康·八年级统考期中）如图已知△ABC≌△EFC，且点B、C、E在一条直线上，CF=5cm，∠EFC=52∘，求∠A的度数和BC的长．
【答案】∠A=38°，BC=5cm
【分析】先由全等三角形的性质得出BC=CF=5cm，∠ACB=∠ECF，∠B=∠EFC=52°，再由∠ACB+∠ECF=180°，得出∠ACB=∠ECF=90°，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵△ABC≌△EFC，
∴BC=CF=5cm，∠ACB=∠ECF，∠B=∠EFC=52°，
∵B、C、E在一条直线上，
∴∠ACB+∠ECF=180°，
∴∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠A=180°−∠ACB−∠B=38°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
34．（2023春·七年级课时练习）如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B=∠D=90°,ΔABC≅ΔCDE,AB=5，BC=12,CE=13．
(1)求△ABC的周长．
(2)求△ACE的面积．
【答案】(1)30
(2)1692
【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到AC=CE=13，然后计算△ABC的周长；
（2）先根据全等三角形的性质得到AC=CE,∠ACB=∠CED，再证明∠ACE=90°，然后根据三角形面积公式计算△ACE的面积．
【详解】（1）∵ΔABC≅ΔCDE，
∴AC=CE=13，
∴ΔABC的周长=AB+BC+AC=5+12+13=30；
（2）∵ΔABC≅ΔCDE，
∴AC=CE=13,∠ACB=∠CED，
∵∠D=90°，
∴∠CED+∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE的面积=12×13×13=1692．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．
35．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．求∠B的度数．
【答案】∠B＝30°
【分析】设∠B＝α，根据△ACD≌△ECD、△CEF≌△BEF可得出∠A＝∠CED、∠B＝∠3，由三角形的外角性质结合三角形内角和定理即可得出关于α的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设∠B＝α，
∵△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，
∴∠A＝∠CED，∠B＝∠3＝α，
∵∠CED＝∠B+∠3，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴2α+α+90°＝180°，
∴α＝30°，
即∠B＝30°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握相关性质．