山东省潍坊市2024年中考数学试卷【附真题答案】

这是一份山东省潍坊市2024年中考数学试卷【附真题答案】，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1．下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A．1.267×105B．1.267×106C．1.267×107D．126.7×104
3．某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．100min，50℃B．120min，50℃
C．100min，55℃D．120min，55℃
5．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
7．下列命题是真命题的有（ ）
A．若a＝b，则ac＝bcB．若a＞b，则ac＞bc
C．两个有理数的积仍为有理数D．两个无理数的积仍为无理数
8．如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）
A．体积为πB．母线长为1
C．侧面积为D．侧面展开图的周长为
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（ ）
A．a﹣b+c＞0
B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BACD．四边形AOCE为菱形
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11．请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
12．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
13．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
14．将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ ，n＝ ．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
17．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ的面积．
18．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
19．2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
20．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
21．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
22．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】A,C
8．【答案】B,C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】y＝﹣2x+1
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】45；2
15．【答案】（1）＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1
（2）
＝a﹣2
当时，
原式．
16．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
17．【答案】（1）把代入得，，
∴m＝﹣3，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
19．【答案】（1）由题意得：，
整理得y＝﹣x2+4x+160，
当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵0≤x≤9，
∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，
答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，
∵t＝y+x2，
∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．
∵4＞0，
∴t随x的增大而增大，
当t＝172时，4x+160＝172，
解得x＝3；
当t＝192时，4x+160＝192，
解得x＝8；
答：x的取值范围为3≤x≤8．
20．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
21．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
将（0，40），（10，45），（30，49）代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：
∵a<0， 0≤x ≤90
∴当x=30时，日平均太阳辐射量最大​​​​​​​
故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.
（3），
延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，
∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，
∴，
∵HN＝HF+FN＝4+a，
∴，
∴，
∴，
延长AN交GM与J点，
∵∠AJG＝∠AGJ，
∴AJ＝AG，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
a
3
3.5
1.05
乙商家
4
b
1.24