2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1

这是一份2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，集合，则 .
2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .
3．现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .
4．若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差 ．
5．在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 .
6．设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则 .
7．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ．
8．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ．
9．已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围 .
10．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
11．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是 .
12．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；
②函数在上是增函数；
③函数是周期函数，最小正周期为；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确命题的序号是
二、单选题
13．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
14．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②的最大值为2
③在有4个零点 ④在区间单调递减
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③
15．如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为
A．30°B．60°
C．90°D．120°
16．已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知点、，其中.
（1）若，求证：.
（2）若，求的值.
18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．
(1)该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.
21．已知函数
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
参考答案：
1．
【详解】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.
考点：集合的运算.
2．
【详解】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念.
考点：复数的运算，纯虚数的概念.
3．
【详解】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.
考点：古典概型概率计算方法.
4．/5.2
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，运算求解．
【详解】由题意可得：，解得a＝5，
∴该组数据的方差
故答案为：．
5．
【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.
考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.
6．2
【分析】由题意可得，化简，代入化简即可.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，
故答案为：2
【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属于基础题.
7．或.
【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围．
【详解】解：，不等式恒成立；
即恒成立；
由于的最小值为2，
故为真命题时，
，有最小值．
表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立
即，解得
故为真命题时，
两个命题中有且只有一个是真命题，
当真假时，或，，，或，
当假真时，这样的值不存在
故实数的取值范围是或
故答案为：或.
【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键．
8．2x2﹣2y2=1
【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，
∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为.
考点：1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质．
9．且
【分析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案；
【详解】，，
，即，
又，不共线，∴，
∴且.
故答案为：且.
【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量同向共线夹角不为锐角.
10．
【分析】根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围.
【详解】当时 ，在上单调递减，
所以，即，，
当时，，
所以，可得在单调递增，
所以，即，
所以的值域为，
因为且 ，
所以，即，
因为，所以，所以
所以的值域为，
因为存在，使得成立，所以，
若，则或，此时或，
所以当时，的取值范围是：.
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题.
11．
【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】设，因为，可得且，
所以梯形的面积为，
则，所以，
令，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程及几何性质，以及导数的实际应用，其中解答中结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．①③④
【分析】求出函数的定义域和值域，可判断①；化简函数在上的解析式，可判断②的正误；利用函数周期性的定义可判断③；利用函数对称性的定义可判断④.
【详解】对于①，函数的定义域为，
对任意的，存在，使得，则，可得，
则，①对；
对于②，，
当时，则，此时，则函数在上不单调，②错；
对于③，对任意的，存在，使得，
则，，
所以，，
故函数是周期函数，最小正周期为，③对；
对于④，当时，则存在，使得，
所以，，则，
，，则，
所以，，
当时，则，，则，
此时，
，此时，
综上所述，对任意的，当时，.
所以，函数的图象关于直线对称，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断，解题的关键在于充分利用函数的新定义，结合函数基本性质的定义判断即可.
13．C
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
【详解】由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选C．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．
14．A
【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.
【详解】解：的定义域为，
因为，
故为偶函数，结论①正确，
当，
当，
故当时，
根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示
故函数的最大值为2，结论②正确，
根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，
由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.
15．B
【详解】试题分析：解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b=，a=，则c=1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角，在短轴的端点取得最大，故为60°．故选B
考点：椭圆的简单几何性质
点评：本题是立体几何与解析几何知识交汇试题，题目新，考查空间想象能力，计算能力．
16．B
【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值．
【详解】解：an（n∈N*），
即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，
n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，
两式相除可得an，
则an2＝an+1﹣an+1，n≥6，
由a62＝a7﹣a6+1，
a72＝a8﹣a7+1，
…，
ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，
可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5
a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，
且a1a2…ak＝1+ak+1，
正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，
则ak+1+k﹣16＝ak+1+1，
则k＝17，
故选：B．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出．
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）用坐标表示出，，求出它们的数量积，利用可证.
（2）由，可求解得，进而可求得，即可求得.
【详解】（1）由题设知，.
所以

因为，所以.故.
（2）因为，所以，即，解得.
因为，所以.因此，.
从而.
【点睛】本题以向量为载体，考查三角函数，数量积的运算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.
18．（1）证明见详解；（2）.
【分析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面.
（2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积.
【详解】
（1）连接与交于点，连接；
因为为的中点，为的中点.
所以，
又平面，平面.
所以平面.
（2）由于点到平面的距离为1，
故三棱锥的体积.
【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.
19．(1)吨
(2)该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损
【分析】（1）设每吨的平均处理成本为（元），得到，结合基本不等式求解即可；
（2）设该单位每月获利（元），得到函数表达式，结合二次函数性质求解即可.
【详解】（1）设每吨的平均处理成本为（元），
则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以该单位每月处理为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
（2）设该单位每月获利（元），
则，
函数图像开口向下，对称轴，
所以函数在单调递减，
所以，
所以该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损
20．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.
（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.
【详解】（1）依题意，得，，
，
故椭圆C的方程为.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，
由于点在椭圆C上，所以，
由，则，

.
由于，
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆T上，代入圆的方程得到.
故圆T的方程为：
（3）设，则直线MP的方程为：，
令，得，同理：.
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
21．（1）；（2）；（3）0.
【分析】（1）根据建立关于的方程求出的值.
（2）本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立,
然后再讨论和两种情况研究.
（3）时，方程可化为,
问题转化为在0,+∞上有解，
利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.
【详解】解：（1）
因为为的极值点，所以，即，解得.
又当时，，从而为的极值点成立．
（2）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立.
①当时，在上恒成立，
所以在上为增函数，故符合题意.
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，
故只能，所以在上恒成立.
令函数，其对称轴为，
因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以.
因为，所以.
综上所述，的取值范围为.
（3）当时，方程可化为.
问题转化为在0,+∞上有解，
即求函数的值域.
因为函数，令函数，
则，
所以当时，，从而函数在上为增函数，
当时，，从而函数在上为减函数，
因此.
而，所以，因此当时，取得最大值0．
【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键.
题号
13
14
15
16






答案
C
A
B
B