07 思维拓展(四)　利用数列递推关系解决概率问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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一阶递推数列Pn=aPn-1+b
例1 [2024·山东省实验中学一模] 某品牌女装专卖店设计了摸球抽奖的促销活动,每位顾客每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为12,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为13.记该顾客第n(n∈N*)次摸球抽中奖品的概率为Pn.
(1)求P2的值,并探究数列{Pn}的通项公式;
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,请给出证明过程.


变式题 [2024·武汉模拟] 甲、乙、丙、丁四人进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人,记事件“第n次传球后,乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为Pn,则P3= ;当n≥4时,Pn= .
二阶递推数列Pn+1=aPn+b Pn-1
例2 某社团开展了“训练赢吉祥物”活动,游戏规则如下:有一张共10格的长方形格子图,依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第10格,游戏开始时“跳子”在第1格,社团成员每次完成训练后抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面,则“跳子”前进2格(从第k格到第k+2格),若出现反面,则“跳子”前进1格(从第k格到第k+1格)(k为正整数),当“跳子”前进到第9格或者第10格时,游戏结束.“跳子”落在第9格,则每位社团成员可以得到一只A玩偶,“跳子”落在第10格,则每位社团成员可以得到一只B玩偶.记“跳子”前进到第n格(1≤n≤10)的概率为Pn.
(1)求P3;
(2)(i)证明:数列{Pn-Pn-1}(2≤n≤9)是等比数列;
(ii)求该社团参加一次这样的游戏获得B玩偶的概率.
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变式题 (多选题)[2024·南通模拟] 历史上著名的伯努利错排问题指的是:一个人有n(n≥2)封不同的信,投入n个不同的信箱,他把每封信都投错了信箱,投错的方法数为an,例如两封信都投错有a2=1(种)方法,三封信都投错有a3=2(种)方法,通过推理可得an+1=n(an+an-1)(n≥3),高等数学给出了泰勒公式:ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…,则下列说法正确的是( )
A.a4=9
B.{an+2-(n+2)an+1}为等比数列
C.ann!=(-1)22!+(-1)33!+…+(-1)nn!(n≥2)
D.信封均被投错的概率大于1e
an+1=anf(n)型
例3 [2024·宁波一模] 现有n(n∈N*)根绳子,共有2n个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束.
(1)当n=3时,记随机变量X为绳子围成的圈的个数,求X的分布列与数学期望;
(2)求证:这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为22n-1·n!(n-1)!(2n)!.


变式题 如图,有一个信号源和五个接收器,接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )

A.445B. 136C. 415D. 815