05 第51讲　椭圆 01 第1课时　椭圆及其性质 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份05 第51讲　椭圆 01 第1课时　椭圆及其性质 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共9页。试卷主要包含了了解椭圆的简单应用，直线与椭圆相交弦的中点问题等内容，欢迎下载使用。


1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若 ,则集合P为椭圆;
(2)若 ,则集合P为线段;
(3)若 ,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
(续表)
3.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与椭圆 公共点;相切时,直线与椭圆有 公共点;相交时,直线与椭圆有 公共点.
(2)判断直线与椭圆的位置关系时,通常将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.
当判别式 时,直线与椭圆相交;
当判别式 时,直线与椭圆相切;
当判别式 时,直线与椭圆相离.
4.直线与椭圆相交所得弦的长
设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2·|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或|AB|=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2].
当直线的斜率不存在时,|AB|= .当直线的斜率k=0时,|AB|= .
5.直线与椭圆相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线l与椭圆C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
椭圆中几个常用的结论:
(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=PF1,r2=PF2.
①x2a2+y2b2=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②y2a2+x2b2=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小.
(2)焦点三角形:以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=
|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中:
①当r1=r2,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
②S=b2tan θ2=cy0,当y0=b,即点P的位置为短轴端点时,S取到最大值,最大值为bc;
③焦点三角形的周长为2a+2c.
(3)若F1,F2为椭圆的两个焦点,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为4a.
(4)AB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x0,y0)(x0y0≠0),O为原点,则kOM·kAB=-b2a2.
(5)过原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB=-b2a2.
(6)点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则过点P的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.
题组一 常识题
1.[教材改编] 如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是 ,△PF1F2 的周长为 .
2.[教材改编] 椭圆4x2+y2=16的长轴长为 ,离心率为 ,焦点坐标为 .
3.[教材改编] 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和到定直线l:x=254的距离的比值是常数45,则动点M的轨迹方程为 .
4.[教材改编] 椭圆x2+4y2=16与直线y=x+1相交所得的弦长为 .
题组二 常错题
◆索引:椭圆的定义中忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;忽视椭圆方程中未知数的取值范围.
5.平面内一点M到两定点F1(-6,0),F2(6,0)的距离之和等于12,则点M的轨迹是 .
6.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为 .
7.若F1,F2分别是椭圆x29+y25=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则PF1·PF2的最小值是 .
/ 第1课时 椭圆及其性质 /
椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知动圆C与圆F1:(x+1)2+y2=1外切,与圆F2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心C的轨迹方程为 .
(2)[2023·全国甲卷] 设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=35,则|OP|=( )
A.135B.302C.145D.352
总结反思
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等,难度不是很大.
变式题 (1)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为( )
A.4x221-4y225=1B.4x221+4y225=1
C.4x225-4y221=1D.4x225+4y221=1
(2)已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点,P为C在第二象限内的一点,以F1F2为直径的圆交PF1于点A,若OA∥PF2(O为坐标原点),则△PF1F2的面积为 .
椭圆的标准方程
例2 (1)已知以椭圆的短轴的一个端点与两焦点为顶点可组成一个正三角形,且焦点到同一坐标轴上的顶点的最短距离为3,则该椭圆的标准方程为 .
(2)[2023·青岛三模] 已知椭圆C的长轴长为4,它的一个焦点与抛物线y=14x2的焦点重合,则椭圆C的标准方程为 .
总结反思
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
变式题 (1)(多选题)对于曲线C:x24-k+y2k-1=1,下面四个说法正确的是( )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1(2)(多选题)已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可以为( )
A.x2100+y284=1B.x225+y29=1
C.y2100+x284=1D.y225+x29=1
(3)[2022·全国甲卷] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1B.x29+y28=1
C.x23+y22=1D.x22+y2=1
椭圆的简单几何性质
微点1 求椭圆的离心率的值或范围
例3 (1)[2022·全国甲卷] 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32B.22
C.12D.13
(2)[2024·厦门模拟] 已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M,N是椭圆C上两点,且MF1=2F1N,MF2·MN=0,则椭圆C的离心率为 .
(3)[2023·湖南邵阳二模] 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点P使得asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.[2-1,1)B.(2-1,1)
C.(0,2-1)D.(0,2-1]
总结反思
求椭圆离心率的值或范围的方法
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=ca求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=1-b2a2求解.
(3)构造a,c的齐次式,可以不求出a,c的具体值得出a与c的关系,从而求得e.
微点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (1)[2023·运城三模] 已知点P(m,n)是椭圆x23+y22=1上的动点,点Q12,0,则|PQ|最小时,m的值是( )
A.-1B.3C.12D.32
(2)已知A(3,1),B(-3,0),P是椭圆x216+y27=1上的一点,则|PA|+|PB|的最大值为 .
总结反思
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法:(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质;(2)利用函数,尤其是二次函数;(3)利用不等式,尤其是基本不等式;(4)利用一元二次方程的判别式.特别注意的是,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
1.【微点1】[2023·新课标Ⅰ卷] 设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=3e1,则a=( )
A.233B.2
C.3D.6
2.【微点1】已知三个椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139,6445,107,离心率分别为e1,e2,e3,则( )
A.e1C.e33.【微点1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于M,N两点,若满足|MF2|,|MN|,|NF2|成等差数列,且∠MF2N=π3,则C的离心率为( )
A.34B.33
C.32D.22
4.【微点1】[2023·浙江温州三模] 如图,A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,P是☉O:x2+y2=a2上标准方程
x2a2+y2b2=1
(a>b>0)
y2a2+x2b2=1
(a>b>0)
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1
(a>b>0)
y2a2+x2b2=1
(a>b>0)
性质
范围
,

,

对称性
对称轴:
对称中心:
顶点
A1 ,A2 ,
B1 ,B2
A1 ,A2 ,
B1 ,B2
轴
长轴A1A2的长为
短轴B1B2的长为
焦点
F1(-c,0),
F2(c,0)
F1(0,-c),
F2(0,c)
焦距
|F1F2|=
离心率
e=ca,e∈
a,b,c
的关系
c2=
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(进群送往届全部资料)不同于A,B的动点,线段PA与椭圆C交于点Q,若tan∠PBA=3tan∠QBA,则椭圆的离心率为( )
A.13B.23
C.33D.63
5.【微点1、微点2】[2024·昆明一中模拟] 已知点P(x0,y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若存在点P,使PF1·PF2≤0成立,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
6.【微点2】已知椭圆C:x225+y216=1,F1,F2分别为C的左、右焦点,P是椭圆上的动点,则△F1PF2的内切圆半径的最大值为 .