2024-2025学年四川省甘孜县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川省甘孜县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以A为圆心，AE长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；分别以点E和点F为圆心，大于EF且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点D，若BD＝，AC长是分式方程的解，则△ACD的面积是（ ）
A．B．C．4D．3
2、（4分）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到ΔAEF，若AC＝，则阴影部分的面积为( )
A．1B．C．D．
3、（4分）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4B．C．6D．
4、（4分）如图，，点是垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）某区为了解5600名初中生的身高情况，抽取了300名学生进行身高测量.在这个问题中，样本是（）
A．300B．300名学生C．300名学生的身高情况D．5600名学生的身高情况
6、（4分）若点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图所示，在菱形ABCD中，已知两条对角线AC＝24，BD＝10，则此菱形的边长是（ ）
A．11B．13C．15D．17
8、（4分）下列命题：
①在函数：y=-1x-1；y=3x；y=；y=-；y=（x＜0）中，y随x增大而减小的有3个函数；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；
④已知数据x1、x1、x3的方差为s1，则数据x1+1，x3+1，x3+1的方差为s3+1．
其中是真命题的个数是（ ）
A．1个B．1个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某校五个绿化小组一天植树的棵树如下：10、10、12、x、1．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________．
10、（4分）用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为__________．
11、（4分）因式分解：3x3﹣12x=_____．
12、（4分）在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1（1，﹣1），C2（，），则点A3的坐标是_____．
13、（4分）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如.因此， ________；若，则________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图,在平面直角坐标系xOy中,点A( ,0),点B(0,1)，直线EF与x轴垂直，A为垂足。
(1)若线段AB绕点A按顺时针方向旋转到AB′的位置,并使得AB与AB′关于直线EF对称,请你画出线段AB所扫过的区域(用阴影表示)；
(2)计算(1)中线段AB所扫过区域的面积。
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
16、（8分）如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
​
17、（10分）如图，已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）
（1）求上述两函数的表达式；
（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一个动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A点作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．若s四边形OADM＝6，求点M的坐标，并判断线段BM与DM的大小关系，说明理由；
（3）探索：x轴上是否存在点P．使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，说明理由．
18、（10分）如图，中，是的中点，将沿折叠后得到，且 点在□内部．将延长交于点．
（1）猜想并填空：________（填“”、“”、“”）；
（2）请证明你的猜想；
（3）如图，当，设，，，证明：．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平面直角坐标系内，直线l⊥y轴于点C(C在y轴的正半轴上)，与直线y=相交于点A，和双曲线y=交于点B，且AB=6，则点B的坐标是______．
20、（4分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__．
21、（4分）已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是______.
22、（4分）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是________．
23、（4分）某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是____________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
25、（10分）解分式方程：．
26、（12分）在中，，，点是的中点，，垂足为，连接．
（1）如图1，与的数量关系是__________.
（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用角平分线的性质定理证明DB=DH=,再根据三角形的面积公式计算即可
【详解】
如图,作DH⊥AC于H，
∵
∴5（x-2）=3x
∴x=5
经检验:x=5是分式方程的解
∵AC长是分式方程的解
∴AC=5
∵∠B=90°
∴DB⊥AB,DH⊥AC
∵AD平分∠BAC,
∴DH=DB=
S=
故选A
此题考查角平分线的性质定理和三角形面积，解题关键在于做辅助线
2、C
【解析】
利用旋转得出∠DAF=30°，就可以利用直角三角形性质，求出阴影部分面积．
【详解】
解：如图．设旋转后，EF交AB与点D，因为等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，又因为旋转角为15°，所以∠DAF=30°，因为AF=AC=,所以DF=1，
所以阴影部分的面积为．
故选：C．
3、D
【解析】
利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
绕点顺时针旋转到的位置．
四边形的面积等于正方形的面积等于20，
，
，
中，
故选：．
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应
边关系是解题关键．
4、B
【解析】
利用线段垂直平分线的性质即可得出答案.
【详解】
解：
连接OA，OB
∵∠BAC=80°
∴∠ABC+∠ACB=100°
又∵O是AB和AC垂直平分线的交点
∴OA=OB，OA=OC
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC
∴∠OBA+∠OCA=80°
∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°
又∵OB=OC
∴∠BCO=∠CBO=10°
故答案选择B.
本题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质.
5、C
【解析】
根据样本的定义即可判断.
【详解】
依题意可知样本是300名学生的身高情况
故选C.
此题主要考查统计分析，解题的关键是熟知样本的定义.
6、D
【解析】
根据第四象限内点的坐标特征为（+，-）列不等式求解即可.
【详解】
由题意得
2m-10.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）将线段AB绕点A按顺时针方向旋转到AB′的位置，使B′的坐标为（2，1）；
（2）利用扇形面积公式求出线段AB所扫过区域的面积即可．
【详解】
(1)如图所示；
(2)∵点A(,0),点B(0,1)，
∴BO=1,AO=，
∴AB= =2，
∴tan∠BAO=，
∴∠BAO=30°，
∵线段AB绕点A按顺时针方向旋转到AB′的位置，
∴∠1=30°，
∴∠BAB′=180°−30°−30°=120°，
阴影部分的面积为： .
此题考查作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
15、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【解析】
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
16、1
【解析】
先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝1，
即CE＝1．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
17、（1）反比例函数的表达式为：y＝，正比例函数的表达式为y＝x；（2）BM＝DM；（3）存在，（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）
【解析】
（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax中，得ak的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）由S△OMB=S△OAC=|k|=3，可得S矩形OBDC=12；即OC•OB=12；进而可得mn的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系；
（3）存在．由（2）可知D（3，4），根据矩形的性质得A（3，2），分为OA为等腰三角形的腰，OA为等腰三角形的底，分别求P点坐标．
【详解】
解：（1）将A（3，2）分别代入y＝，y＝ax中，得：2＝，3a＝2
∴k＝6，a＝，
∴反比例函数的表达式为：y＝，
正比例函数的表达式为y＝x；
（2）BM＝DM
理由：∵S△OMB＝S△OAC＝×|k|＝3
∴S矩形OBDC＝S四边形OADM+S△OMB+S△OAC＝3+3+6＝12
即OC•OB＝12
∵OC＝3
∴OB＝4
即n＝4
∴m＝=，即点M的坐标为（，4）
∴MB＝，MD＝3﹣＝，
∴MB＝MD；
（3）存在．
由（2）得A（3，2），OA＝
当OA为等腰三角形的腰时，P（，0）或（﹣，0）或（6，0），
当OA为等腰三角形的底，P（，0）．
∴满足条件的P点坐标为（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．
此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
18、（1）＝；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据折叠的性质、平行四边形的性质、以及等腰三角形的判定与性质可猜想为相等；
（2）先证明∠EDF=∠EGF，再证明EG=ED，则等边对等角得：∠EGD=∠EDG，相减可得结论；
（3）分别表示BF、CF、BC的长，证明ABCD是矩形得：∠C=90°，在Rt△BCF中，由勾股定理列式可得结论．
【详解】
解：（1）GF=DF，
故答案为：=；
（2）理由是：
连接DG，
由折叠得：AE=EG，∠A=∠BGE，
∵E在AD的中点，
∴AE=ED，
∴ED=EG，
∴∠EGD=∠EDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠BGE+∠EGF=180°，
∴∠EDF=∠EGF，
∴∠EDF-∠EDG=∠EGF-∠EGD，
即∠GDF=∠DGF，
∴GF=DF；
（3）证明：如图2，由（2）得：DF=GF=b，
由图可得：BF=BG+GF=a+b，
由折叠可得：AB=BG=a，AE=EG=c，
在ABCD中，
BC=AD=2AE=2c，CD=AB=a，
∴CF=CD-DF=a-b，
∵∠A=90°，
∴ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
BC2+CF2=BF2，
∴(2c)2+(a-b)2=(a+b)2，
整理得：c2=ab．
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的性质与判定，难度适中，熟练掌握折叠前后的边和角相等是关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（3+，）或（-3+，）
【解析】
根据直线l⊥y轴，可知AB∥x轴，则A、B的纵坐标相等，设A（m，m）（m＞0），列方程 ，可得点B的坐标，根据AB=6，列关于m的方程可得结论．
【详解】
如图，
设A（m，m）（m＞0），如图所示，
∴点B的纵坐标为m，
∵点B在双曲线y＝上，
∴，
∴x=，
∵AB=6，
即|m-|=6，
∴m-=6或-m=6，
∴m1=3+或m2=3-＜0（舍），m3=-3-（舍），m4=-3+，
∴B（3+，）或（-3+，），
故答案为：（3+，）或（-3+，）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20、（9，0）
【解析】
根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，
所以位似中心的坐标为(9，0)．
故答案为：(9，0)．
21、
【解析】
直接利用一次函数图象，结合式kx+b＞0时，则y的值＞0时对应x的取值范围，进而得出答案．
【详解】
如图所示：
关于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜1．
故答案为：x＜1．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合是解题关键．
22、三角形的中位线等于第三边的一半
【解析】
∵D,E分别是AC,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB,
设DE=a，则AB=2a，
故答案是:三角形的中位线等于第三边的一半.
23、
【解析】
根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式.
【详解】
解：根据题意，
y=400x+500（100-x）=-100x+50000；
故答案为
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）△CDF是等腰三角形；（2）∠APD=45°．
【解析】
（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．
【详解】
（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．
25、
【解析】
首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
【详解】
解：方程两边乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
是原方程的解；
原方程的解是：．
本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
26、（1）DE=BC；(2)
【解析】
（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，可得DE=BD=BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP+BP =BC，DE=BC可得到DE =（BF+BP）.
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案为DE=BD=BC．
（2）DE =（BF+BP）．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴DE =（BF+BP）；
故答案为DE =（BF+BP）.
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分