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2.7角的和与差 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）
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2.7角的和与差冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，点O在直线AB上，∠COD=75∘.若∠BOD=30∘，则∠AOC的度数为( ) A. 115∘ B. 120∘ C. 135∘ D. 145∘2.已知：0∘<∠1<180∘，0∘<∠2<180∘，且∠1的补角等于∠2的余角，则下列结论一定正确的是( )A. ∠1是锐角 B. ∠2是钝角 C. ∠1−∠2=90∘ D. ∠1+∠2=180∘3.如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠CAB=2∠CPB；③S▵PAC=S▵MAP+S▵NCP． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4.如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，点F为OE反向延长线上一点(图中所有角均指小于180°的角).下列结论：其中正确结论的个数有( ) ①∠AOE=∠DOE； ②∠AOD+∠COB=180°； ③∠COB−∠AOD=90°； ④∠COE+∠BOF=180°．A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个5.如图，∠AOB=70∘，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)，ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数( ) A. 变大 B. 变小 C. 等于55∘ D. 等于35∘6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M.已知∠ACB=70∘，∠B=40∘，则∠M的度数为( ) A. 10∘ B. 15∘ C. 20∘ D. 25∘8.如图，已知直线AB//CD，EG平分∠BEF，∠1=40∘，则∠2的度数是( ) A. 70∘ B. 50∘ C. 40∘ D. 140∘9.如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是．( ) A. 12∠BAC=∠BAM B. ∠BAM=∠CAM C. ∠BAM=2∠CAM D. 2∠CAM=∠BAC10.如图，AB为⊙O直径，BC=8，AC=6，CD平分∠ACB，则AD=( )A. 5 B. 6 C. 5 2 D. 2 511.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF= 2，AB=3，给出下列结论：①∠COD=45°，②AE=5，③CF=BD= 17，④△COF的面积S△COF=3，其中正确的个数为( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12.如图，已知AB//CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点Q，E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC=54°，则∠GFE的度数为( )A. 144° B. 117° C. 126° D. 63°二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为_ __． 14.如图，AE//CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC//BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180∘−α2.其中正确的有____.(把你认为正确结论的序号都填上) 15.如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC=70°，∠BOE=1n∠BOC，∠BOD=1n∠AOB，则∠DOE= °.(用含n的代数式表示) 16.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为_______． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分) 数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线AM固定位置，∠BAC=80°，AD平分∠BAM，AE平分∠CAM． 知识再现： (1)∠DAE= ______； 探究升华： (2)将图1中的∠BAC绕点A旋转，当旋转到图2位置时，(1)的结论是否成立？若成立？请说明理由； (3)将图1中的∠BAC绕点A旋转一周，当∠BAE=3∠EAM时，求∠BAD的度数．18.(本小题8分) 已知，∠AOD=160°，OB，OM，ON分别是∠AOD内的射线． (1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB=50°，则∠BON= ______°； (2)如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数； (3)如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC=38°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOM内时，求∠MON的度数．19.(本小题8分)如图，∠COD=116°，∠BOD=90°，OA平分∠BOC.求∠AOD的度数． 20.(本小题8分)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余?在哪种摆放方式中∠α与∠β互补?在哪种摆放方式中∠α与∠β相等? 21.(本小题8分) 如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，且AF//BC． (1)判断△ABC的形状并说明理由； (2)CG平分∠ACE交AF于点G，若∠B=35°，求∠AGC的度数．22.(本小题8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为E.求证：BE2=DE·AE． 答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查角的计算，邻补角的性质，正确求出∠BOC是解题的关键． 根据已知条件求出∠BOC，再根据邻补角的性质求解即可． 【解答】 解：∵∠COD=75∘．∠BOD=30∘， ∴∠COB=∠COD−∠BOD=45°， ∴∠AOC=180°−∠BOC=135°， 故选C．2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键． 根据余角和补角的定义进行判断即可．【解答】 解：∠1的补角：180°−∠1； ∠2的余角：90°−∠2 则180°−∠1=90°−∠2 则∠1−∠2=90° 则∠1是钝角，∠2是锐角，∠1，∠2没有互补的关系． 则C正确．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是角平分线，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质有关知识，过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可．【解答】 解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， PA=PAPM=PQ, ∴Rt△PMA≌Rt△PQA(HL)， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∴∠MPN=2∠APC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°−90°−90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵CP平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=12∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2(12∠ABC+∠CPB)， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4．4.【答案】B 【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠COE=∠BOE， ∴∠AOE=∠DOE，所以①正确； ∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确； ∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD， 而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确； ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF=∠DOF， 而∠AOE=∠DOE， ∴∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选：B． 由∠AOB=∠COD=90°根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，而∠COE=∠BOE，即可判断①正确； 由∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC=90°，即可判断，②确； 由∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确； 由OF平分∠AOD得∠AOF=∠DOF，由①得∠AOE=∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线，又∠COE=∠BOE，即可判断④正确． 本题考查了角度的计算：1周角=60°，1平角=180°，等角的余角相等．也考查了角平分线的定义．5.【答案】D 【解析】∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME=∠EMN=12∠AMN，∠MNF=∠FNO=12∠MNO．又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN=∠MNO+∠O，即2∠EMN=2∠MNF+∠O，∴∠EMN=∠MNF+12∠O.又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN=∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F=∠MNF+12∠O，∴∠F=12∠O=12×70∘=35∘．6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、补角的定义以及三角形的内角和定理，难度适中．根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°， ∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， ∴∠A=∠ACM−∠ABC=60°， ∠ACB=180°−∠ACM=80°， ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°， ∵∠PBC=20°， ∴∠P=180°−∠PBC−∠BCP=30°， ∴∠A+∠P=90°， 故选：C．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查的是角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质有关知识，由∠B=40°，∠ACB=70°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由EF⊥AD，可得∠DPM的度数，从而求得∠M的度数． 【解答】 解：∵∠B=40°，∠ACB=70°，∠B+∠ACB+∠BAC=180°． ∴∠BAC=70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAD=35°， ∴∠PDM=∠B+∠BAD=75°， 又∵EF⊥AD， ∴∠DPM=90°， ∵∠PDM+∠DPM+∠M=180°． ∴∠M=15°． 故选B．8.【答案】A 【解析】解：∵∠1=40°， ∴∠BEF=180°−∠1=180°−40°=140°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠FEG=70°， ∵AB//CD， ∴∠2=∠BEG=70°． 故选：A． 由平角的定义可得∠BEF=140°，由角平分线的定义可得∠BEG=∠FEG=70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解． 本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．9.【答案】C 【解析】【分析】 此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．根据角平分线定义即可求解． 【解答】 解：∵AM为∠BAC的平分线， ∴12∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC． 故选C．10.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用． 连接OD，由圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求解AB的长，由角平分线的定义可得AD=BD，即可得△AOD为等腰直角三角形，进而可求解AD的长． 【解答】 解：连接OD， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=8，AC=6， ∴AB=10， ∴OA=OD=5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴劣弧AD=BD， 即D为AB的中点， ∴∠AOD=90°， ∴AD= 52+52=5 2， 故选C．11.【答案】B 【解析】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°−∠AOC−∠DOE=45°， 故正确； ②∵EF= 2， ∴OE=2， ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5， 故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF= FG2+CG2= 12+(3+1)2= 17， BH=3−1=2， DH=3+1=4， BD= 42+22=2 5， 故错误； ④△COF的面积S△COF=12×3×1=32， 故错误； 故选：B． ①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．12.【答案】B 【解析】解：∵AB//CD， ∴∠MQA=∠MEC=54°， ∵QF平分∠EQG， ∴∠GQF=12∠MQA=27°， ∵AB//CD， ∴∠EFQ=∠GQF=27°， ∵FG⊥FQ， ∴∠GFQ=90°， ∴∠GFE=∠GFQ+∠EFQ=117°， 故选：B． 由平行线的性质得出∠MQA=∠MEC=54°，由角平分线的定义得出∠GQF=12∠MQA=27°，再由平行线的性质得出∠EFQ=∠GQF=27°，由垂线的定义得出∠GFQ=90°，即可得解． 本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的性质，关键是平行性性质的熟练掌握．13.【答案】82° 【解析】【分析】 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，属于中档题． 证明△ABC≌△ADC，得∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49°，进而根据三角形内角和定理得结果． 【解答】 解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA=∠DCA， ∵CB=CD，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴∠B=∠D， ∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD， ∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°， ∴∠B+∠ACB=49°， ∴∠BAE=180°−∠B−∠ACB−∠CAE=82°， 故答案为：82°．14.【答案】①②④ 【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 求出∠EBD+∠ABC=90°，∠DBG+∠CBG=90°，求出∠ABC=∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCG，求出∠ACB=∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG=∠A=α，求出∠EBD=12∠EBG=12α，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF=180°，即可判断④． 【解答】 解：∵BD⊥BC， ∴∠DBC=90°， ∴∠EBD+∠ABC=180°−90°=90°，∠DBG+∠CBG=90°， ∵BD平分∠EBG， ∴∠EBD=∠DBG， ∴∠ABC=∠GBC， 即BC平分∠ABG，故①正确； ∵AE//CF， ∴∠ABC=∠BCG， ∵CB平分∠ACF， ∴∠ACB=∠BCG， ∵∠ABC=∠GBC， ∴∠ACB=∠GBC， ∴AC//BG，故②正确； 与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误； ∵AC//BG，∠A=α， ∴∠EBG=∠A=α， ∵∠EBD=∠DBG， ∴∠EBD=12∠EBG=12α， ∵AB//CF， ∴∠EBD+∠BDF=180°， ∴∠BDF=180°−∠EBD=180°−α2，故④正确； 故答案为：①②④．15.【答案】(70n) 【解析】【分析】 根据角的和差可求得∠DOE=∠BOD−∠BOE=1n∠AOB−1n∠BOC=1n∠AOC，进而可求解． 本题主要考查角的计算，利用角的和差转化求角的度数是解题的关键． 【解答】 解：因为∠AOC=70°， 所以∠AOB−∠BOC=∠AOC=70°， 因为∠BOE=1n∠BOC，∠BOD=1n∠AOB， 所以∠DOE=∠BOD−∠BOE=1n∠AOB−1n∠BOC=1n∠AOC=(70n)°． 故答案为：(70n).16.【答案】125° 【解析】【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，进而得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】 解：连接CO， ∵∠AOB=140°， ∴∠OAB+∠OBA=180°−140°=40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180°−40°=140°， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴OA=OC，OB=OC， ∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB=70°， ∴∠CAB+∠CBA=180°−70°=110°， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA， ∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=55°， ∴∠AIB=180°−55°=125°17.【答案】40° 【解析】解：(1)如图1： ∵AD平分∠BAM， ∴∠DAM=12∠BAM， ∵AE平分∠CAM， ∴∠MAE=12∠CAM， ∴∠DAM+∠MAE=12∠BAM+12∠CAM， 即：∠DAE=12∠BAC， ∵∠BAC=80°， ∴∠DAE=40°； 故答案为：40°； (2)成立，理由如下： ∵AD平分∠BAM，AE平分∠CAM， ∴∠DAM=12∠BAM，∠EAM=12∠CAM， ∴∠DAE=∠DAM−∠EAM =12∠BAM−12∠CAM =12(∠BAM−∠CAM) =12∠BAC=40°； 故结论仍成立； (3)设∠EAM=x°，则∠BAE=3x°， 如图1，80°−x°=3x°， ∴x°=20°， ∴∠BAM=80°−20°−20°=40°， ∴∠BAD=∠12BAM=20°， 如图2， ∵80°+x°=3x°， ∴x°=40°， ∴∠BAM=80°+40°+40°=160°， ∴∠BAD=∠12BAM=80°． 答：∠BAD的度数为：20°或80°． (1)由角平分线得到∠DAM=12∠BAM，∠MAE=12∠CAM，结合图形，得到结果； (2)根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； (3)根据条件，∠BAE=3∠EAM，设∠EAM=x°，列出方程，求出∠EAM的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算∠BAD的度数即可． 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系．18.【答案】55 【解析】解：(1)∵∠AOD=160°，∠AOB=50°， ∴∠BOD=160°−50°=110°， ∵ON平分∠BOD， ∴∠BON=12∠BOD=55°， 故答案为：55． (2)∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB， ∴∠BON=12∠BOD，∠BOM=12∠AOB， ∵∠AOD=160°， ∴∠MON=∠BON+∠BOM=12∠BOD+12∠AOB=12∠AOD=80°． (3)设∠AOB=x，则∠BOD=160°−x， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠COM=12∠AOC=12(x+38°)，∠BON=12∠BOD=12(160°−x)， ∴∠MON=∠BON−∠BOM ∠MON=∠BON−∠BOM=∠BON−(∠BOC−∠COM) =12(160°−x)−[38°−12(38°+x)] =61°． (1)求出∠BOD即可求解； (2)根据∠BON=12∠BOD，∠BOM=12∠AOB，∠MON=∠BON+∠BOM即可求解； (3)结合(2)中的推理过程即可求解． 本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，正确找到各角度之间的和差关系是解题关键．19.【答案】解：∵∠COD=116°，∠BOD=90°， ∴∠BOC=∠COD−∠BOD=116°−90°=26°， 又∵OA平分∠BOC， ∴∠AOB=12∠BOC=12×26=13°， ∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+13°=103°， ∴∠AOD的度数是103°． 【解析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．由角平分线的定义，结合角的运算，易求∠AOD的度数．20.【答案】解：(1)根据平角的定义得： ∠α+90∘+∠β=180∘， ∴∠α+∠β=90∘， 即∠α与∠β互余; (2)根据两个直角的位置得：∠α=∠β; (3)根据三角尺的特点和摆放位置得： ∠α+45∘=180∘，∠β+45∘=180∘， ∴∠α=∠β; (4)根据图形可知∠α与∠β是互补， ∴∠α+∠β=180∘; 答：(1)中∠α与∠β互余;(4)中∠α与∠β互补;(2)(3)中，∠α=∠β． 【解析】本题考查了余角和补角的定义;仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键． 根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出∠α和∠β的关系．21.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形； 理由：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF=∠CAF， ∵AF//BC， ∴∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB， ∴∠B=∠ACB， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形； (2)∵∠ACB=∠B=35°， ∴∠ACE=180°−∠ACB=145°， ∵CG平分∠ACE， ∴∠ACG=∠GCE=12∠ACE=72.5°， ∵AF//BC， ∴∠AGC=∠GCE=72.5°． 【解析】(1)由AF平分∠DAC得到∠DAF=∠CAF，由AF//BC得到∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB，从而∠B=∠ACB，根据“等角对等边”即可证得AB=AC，即△ABC是等腰三角形； (2)由∠ACB=∠B=35°可求得∠ACE=145°，再根据角平分线的定义求得∠ACG=∠GCE=12∠ACE=72.5°，根据AF//BC即可求得∠AGC=∠GCE=72.5°． 本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．22.【答案】证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°， ∵BE⊥AE， ∴∠E=90°， ∴∠EBD+∠BDE=90°， ∵∠ADC=∠BDE， ∴∠ADC+∠EBD=90°， ∴∠CAD=∠EBD， ∴∠BAE=∠DBE， 又∵∠E=∠E， ∴△BDE∽△ABE， ∴BE：AE=DE：BE， ∴BE2=DE⋅AE． 【解析】本题考查了三角形相似的判定及性质，同时也考查了对顶角相等这样性质． 若要证明BE2=DE⋅AE则问题可转化为证明比例线段所在的三角形相似即可，即△BDE∽△BAE．
2.7角的和与差冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，点O在直线AB上，∠COD=75∘.若∠BOD=30∘，则∠AOC的度数为( ) A. 115∘ B. 120∘ C. 135∘ D. 145∘2.已知：0∘<∠1<180∘，0∘<∠2<180∘，且∠1的补角等于∠2的余角，则下列结论一定正确的是( )A. ∠1是锐角 B. ∠2是钝角 C. ∠1−∠2=90∘ D. ∠1+∠2=180∘3.如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠CAB=2∠CPB；③S▵PAC=S▵MAP+S▵NCP． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4.如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，点F为OE反向延长线上一点(图中所有角均指小于180°的角).下列结论：其中正确结论的个数有( ) ①∠AOE=∠DOE； ②∠AOD+∠COB=180°； ③∠COB−∠AOD=90°； ④∠COE+∠BOF=180°．A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个5.如图，∠AOB=70∘，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)，ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数( ) A. 变大 B. 变小 C. 等于55∘ D. 等于35∘6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=( ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M.已知∠ACB=70∘，∠B=40∘，则∠M的度数为( ) A. 10∘ B. 15∘ C. 20∘ D. 25∘8.如图，已知直线AB//CD，EG平分∠BEF，∠1=40∘，则∠2的度数是( ) A. 70∘ B. 50∘ C. 40∘ D. 140∘9.如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是．( ) A. 12∠BAC=∠BAM B. ∠BAM=∠CAM C. ∠BAM=2∠CAM D. 2∠CAM=∠BAC10.如图，AB为⊙O直径，BC=8，AC=6，CD平分∠ACB，则AD=( )A. 5 B. 6 C. 5 2 D. 2 511.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF= 2，AB=3，给出下列结论：①∠COD=45°，②AE=5，③CF=BD= 17，④△COF的面积S△COF=3，其中正确的个数为( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12.如图，已知AB//CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点Q，E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC=54°，则∠GFE的度数为( )A. 144° B. 117° C. 126° D. 63°二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为_ __． 14.如图，AE//CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC//BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180∘−α2.其中正确的有____.(把你认为正确结论的序号都填上) 15.如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC=70°，∠BOE=1n∠BOC，∠BOD=1n∠AOB，则∠DOE= °.(用含n的代数式表示) 16.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为_______． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分) 数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线AM固定位置，∠BAC=80°，AD平分∠BAM，AE平分∠CAM． 知识再现： (1)∠DAE= ______； 探究升华： (2)将图1中的∠BAC绕点A旋转，当旋转到图2位置时，(1)的结论是否成立？若成立？请说明理由； (3)将图1中的∠BAC绕点A旋转一周，当∠BAE=3∠EAM时，求∠BAD的度数．18.(本小题8分) 已知，∠AOD=160°，OB，OM，ON分别是∠AOD内的射线． (1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB=50°，则∠BON= ______°； (2)如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数； (3)如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC=38°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOM内时，求∠MON的度数．19.(本小题8分)如图，∠COD=116°，∠BOD=90°，OA平分∠BOC.求∠AOD的度数． 20.(本小题8分)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余?在哪种摆放方式中∠α与∠β互补?在哪种摆放方式中∠α与∠β相等? 21.(本小题8分) 如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，且AF//BC． (1)判断△ABC的形状并说明理由； (2)CG平分∠ACE交AF于点G，若∠B=35°，求∠AGC的度数．22.(本小题8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为E.求证：BE2=DE·AE． 答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查角的计算，邻补角的性质，正确求出∠BOC是解题的关键． 根据已知条件求出∠BOC，再根据邻补角的性质求解即可． 【解答】 解：∵∠COD=75∘．∠BOD=30∘， ∴∠COB=∠COD−∠BOD=45°， ∴∠AOC=180°−∠BOC=135°， 故选C．2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键． 根据余角和补角的定义进行判断即可．【解答】 解：∠1的补角：180°−∠1； ∠2的余角：90°−∠2 则180°−∠1=90°−∠2 则∠1−∠2=90° 则∠1是钝角，∠2是锐角，∠1，∠2没有互补的关系． 则C正确．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是角平分线，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质有关知识，过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可．【解答】 解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， PA=PAPM=PQ, ∴Rt△PMA≌Rt△PQA(HL)， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∴∠MPN=2∠APC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°−90°−90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵CP平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=12∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2(12∠ABC+∠CPB)， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4．4.【答案】B 【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠COE=∠BOE， ∴∠AOE=∠DOE，所以①正确； ∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确； ∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD， 而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确； ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF=∠DOF， 而∠AOE=∠DOE， ∴∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选：B． 由∠AOB=∠COD=90°根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，而∠COE=∠BOE，即可判断①正确； 由∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC=90°，即可判断，②确； 由∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确； 由OF平分∠AOD得∠AOF=∠DOF，由①得∠AOE=∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线，又∠COE=∠BOE，即可判断④正确． 本题考查了角度的计算：1周角=60°，1平角=180°，等角的余角相等．也考查了角平分线的定义．5.【答案】D 【解析】∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME=∠EMN=12∠AMN，∠MNF=∠FNO=12∠MNO．又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN=∠MNO+∠O，即2∠EMN=2∠MNF+∠O，∴∠EMN=∠MNF+12∠O.又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN=∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F=∠MNF+12∠O，∴∠F=12∠O=12×70∘=35∘．6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、补角的定义以及三角形的内角和定理，难度适中．根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°， ∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， ∴∠A=∠ACM−∠ABC=60°， ∠ACB=180°−∠ACM=80°， ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°， ∵∠PBC=20°， ∴∠P=180°−∠PBC−∠BCP=30°， ∴∠A+∠P=90°， 故选：C．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查的是角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质有关知识，由∠B=40°，∠ACB=70°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由EF⊥AD，可得∠DPM的度数，从而求得∠M的度数． 【解答】 解：∵∠B=40°，∠ACB=70°，∠B+∠ACB+∠BAC=180°． ∴∠BAC=70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAD=35°， ∴∠PDM=∠B+∠BAD=75°， 又∵EF⊥AD， ∴∠DPM=90°， ∵∠PDM+∠DPM+∠M=180°． ∴∠M=15°． 故选B．8.【答案】A 【解析】解：∵∠1=40°， ∴∠BEF=180°−∠1=180°−40°=140°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠FEG=70°， ∵AB//CD， ∴∠2=∠BEG=70°． 故选：A． 由平角的定义可得∠BEF=140°，由角平分线的定义可得∠BEG=∠FEG=70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解． 本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．9.【答案】C 【解析】【分析】 此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．根据角平分线定义即可求解． 【解答】 解：∵AM为∠BAC的平分线， ∴12∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC． 故选C．10.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用． 连接OD，由圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求解AB的长，由角平分线的定义可得AD=BD，即可得△AOD为等腰直角三角形，进而可求解AD的长． 【解答】 解：连接OD， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=8，AC=6， ∴AB=10， ∴OA=OD=5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴劣弧AD=BD， 即D为AB的中点， ∴∠AOD=90°， ∴AD= 52+52=5 2， 故选C．11.【答案】B 【解析】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°−∠AOC−∠DOE=45°， 故正确； ②∵EF= 2， ∴OE=2， ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5， 故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF= FG2+CG2= 12+(3+1)2= 17， BH=3−1=2， DH=3+1=4， BD= 42+22=2 5， 故错误； ④△COF的面积S△COF=12×3×1=32， 故错误； 故选：B． ①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．12.【答案】B 【解析】解：∵AB//CD， ∴∠MQA=∠MEC=54°， ∵QF平分∠EQG， ∴∠GQF=12∠MQA=27°， ∵AB//CD， ∴∠EFQ=∠GQF=27°， ∵FG⊥FQ， ∴∠GFQ=90°， ∴∠GFE=∠GFQ+∠EFQ=117°， 故选：B． 由平行线的性质得出∠MQA=∠MEC=54°，由角平分线的定义得出∠GQF=12∠MQA=27°，再由平行线的性质得出∠EFQ=∠GQF=27°，由垂线的定义得出∠GFQ=90°，即可得解． 本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的性质，关键是平行性性质的熟练掌握．13.【答案】82° 【解析】【分析】 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，属于中档题． 证明△ABC≌△ADC，得∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49°，进而根据三角形内角和定理得结果． 【解答】 解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA=∠DCA， ∵CB=CD，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴∠B=∠D， ∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD， ∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°， ∴∠B+∠ACB=49°， ∴∠BAE=180°−∠B−∠ACB−∠CAE=82°， 故答案为：82°．14.【答案】①②④ 【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 求出∠EBD+∠ABC=90°，∠DBG+∠CBG=90°，求出∠ABC=∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCG，求出∠ACB=∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG=∠A=α，求出∠EBD=12∠EBG=12α，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF=180°，即可判断④． 【解答】 解：∵BD⊥BC， ∴∠DBC=90°， ∴∠EBD+∠ABC=180°−90°=90°，∠DBG+∠CBG=90°， ∵BD平分∠EBG， ∴∠EBD=∠DBG， ∴∠ABC=∠GBC， 即BC平分∠ABG，故①正确； ∵AE//CF， ∴∠ABC=∠BCG， ∵CB平分∠ACF， ∴∠ACB=∠BCG， ∵∠ABC=∠GBC， ∴∠ACB=∠GBC， ∴AC//BG，故②正确； 与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误； ∵AC//BG，∠A=α， ∴∠EBG=∠A=α， ∵∠EBD=∠DBG， ∴∠EBD=12∠EBG=12α， ∵AB//CF， ∴∠EBD+∠BDF=180°， ∴∠BDF=180°−∠EBD=180°−α2，故④正确； 故答案为：①②④．15.【答案】(70n) 【解析】【分析】 根据角的和差可求得∠DOE=∠BOD−∠BOE=1n∠AOB−1n∠BOC=1n∠AOC，进而可求解． 本题主要考查角的计算，利用角的和差转化求角的度数是解题的关键． 【解答】 解：因为∠AOC=70°， 所以∠AOB−∠BOC=∠AOC=70°， 因为∠BOE=1n∠BOC，∠BOD=1n∠AOB， 所以∠DOE=∠BOD−∠BOE=1n∠AOB−1n∠BOC=1n∠AOC=(70n)°． 故答案为：(70n).16.【答案】125° 【解析】【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，进而得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】 解：连接CO， ∵∠AOB=140°， ∴∠OAB+∠OBA=180°−140°=40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180°−40°=140°， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴OA=OC，OB=OC， ∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB=70°， ∴∠CAB+∠CBA=180°−70°=110°， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA， ∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=55°， ∴∠AIB=180°−55°=125°17.【答案】40° 【解析】解：(1)如图1： ∵AD平分∠BAM， ∴∠DAM=12∠BAM， ∵AE平分∠CAM， ∴∠MAE=12∠CAM， ∴∠DAM+∠MAE=12∠BAM+12∠CAM， 即：∠DAE=12∠BAC， ∵∠BAC=80°， ∴∠DAE=40°； 故答案为：40°； (2)成立，理由如下： ∵AD平分∠BAM，AE平分∠CAM， ∴∠DAM=12∠BAM，∠EAM=12∠CAM， ∴∠DAE=∠DAM−∠EAM =12∠BAM−12∠CAM =12(∠BAM−∠CAM) =12∠BAC=40°； 故结论仍成立； (3)设∠EAM=x°，则∠BAE=3x°， 如图1，80°−x°=3x°， ∴x°=20°， ∴∠BAM=80°−20°−20°=40°， ∴∠BAD=∠12BAM=20°， 如图2， ∵80°+x°=3x°， ∴x°=40°， ∴∠BAM=80°+40°+40°=160°， ∴∠BAD=∠12BAM=80°． 答：∠BAD的度数为：20°或80°． (1)由角平分线得到∠DAM=12∠BAM，∠MAE=12∠CAM，结合图形，得到结果； (2)根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； (3)根据条件，∠BAE=3∠EAM，设∠EAM=x°，列出方程，求出∠EAM的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算∠BAD的度数即可． 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系．18.【答案】55 【解析】解：(1)∵∠AOD=160°，∠AOB=50°， ∴∠BOD=160°−50°=110°， ∵ON平分∠BOD， ∴∠BON=12∠BOD=55°， 故答案为：55． (2)∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB， ∴∠BON=12∠BOD，∠BOM=12∠AOB， ∵∠AOD=160°， ∴∠MON=∠BON+∠BOM=12∠BOD+12∠AOB=12∠AOD=80°． (3)设∠AOB=x，则∠BOD=160°−x， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠COM=12∠AOC=12(x+38°)，∠BON=12∠BOD=12(160°−x)， ∴∠MON=∠BON−∠BOM ∠MON=∠BON−∠BOM=∠BON−(∠BOC−∠COM) =12(160°−x)−[38°−12(38°+x)] =61°． (1)求出∠BOD即可求解； (2)根据∠BON=12∠BOD，∠BOM=12∠AOB，∠MON=∠BON+∠BOM即可求解； (3)结合(2)中的推理过程即可求解． 本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，正确找到各角度之间的和差关系是解题关键．19.【答案】解：∵∠COD=116°，∠BOD=90°， ∴∠BOC=∠COD−∠BOD=116°−90°=26°， 又∵OA平分∠BOC， ∴∠AOB=12∠BOC=12×26=13°， ∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+13°=103°， ∴∠AOD的度数是103°． 【解析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．由角平分线的定义，结合角的运算，易求∠AOD的度数．20.【答案】解：(1)根据平角的定义得： ∠α+90∘+∠β=180∘， ∴∠α+∠β=90∘， 即∠α与∠β互余; (2)根据两个直角的位置得：∠α=∠β; (3)根据三角尺的特点和摆放位置得： ∠α+45∘=180∘，∠β+45∘=180∘， ∴∠α=∠β; (4)根据图形可知∠α与∠β是互补， ∴∠α+∠β=180∘; 答：(1)中∠α与∠β互余;(4)中∠α与∠β互补;(2)(3)中，∠α=∠β． 【解析】本题考查了余角和补角的定义;仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键． 根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出∠α和∠β的关系．21.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形； 理由：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF=∠CAF， ∵AF//BC， ∴∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB， ∴∠B=∠ACB， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形； (2)∵∠ACB=∠B=35°， ∴∠ACE=180°−∠ACB=145°， ∵CG平分∠ACE， ∴∠ACG=∠GCE=12∠ACE=72.5°， ∵AF//BC， ∴∠AGC=∠GCE=72.5°． 【解析】(1)由AF平分∠DAC得到∠DAF=∠CAF，由AF//BC得到∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB，从而∠B=∠ACB，根据“等角对等边”即可证得AB=AC，即△ABC是等腰三角形； (2)由∠ACB=∠B=35°可求得∠ACE=145°，再根据角平分线的定义求得∠ACG=∠GCE=12∠ACE=72.5°，根据AF//BC即可求得∠AGC=∠GCE=72.5°． 本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．22.【答案】证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°， ∵BE⊥AE， ∴∠E=90°， ∴∠EBD+∠BDE=90°， ∵∠ADC=∠BDE， ∴∠ADC+∠EBD=90°， ∴∠CAD=∠EBD， ∴∠BAE=∠DBE， 又∵∠E=∠E， ∴△BDE∽△ABE， ∴BE：AE=DE：BE， ∴BE2=DE⋅AE． 【解析】本题考查了三角形相似的判定及性质，同时也考查了对顶角相等这样性质． 若要证明BE2=DE⋅AE则问题可转化为证明比例线段所在的三角形相似即可，即△BDE∽△BAE．
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