2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（全解全析）（北京版）

这是一份2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（全解全析）（北京版），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，难度系数，如图，和都是等腰直角三角形，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
故选：．
2．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经不过点．
故选：D．
3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项错误；
B、添加，可用两角法判定，故本选项错误；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；
D、添加，不能判定，故本选项正确；
故选：D．
4．如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【详解】解：四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选C．
5．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴正好是抛物线的顶点坐标，
∴是二次函数的最大值，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
6．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】B
【详解】如图，连接，
∵轴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
8．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边，，上，记，，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．正比例函数关系，二次函数关系
【答案】B
【详解】解：设 (m为常数)，
在中，，，
∴为等腰直角三角形，
，
∵四边形是矩形，
，
，即，
∴y与x成一次函数关系，
，
∴S与x成二次函数关系．
故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ．
【答案】
【详解】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
∴，
∵顶点是，
∴，
∴这个函数解析式为，
故答案为：．
10．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∵，
∴点，在第四象限，y随x的增大而增大，
∴．
故答案为：．
11．将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：，
由题意得，新图象函数的表达式为：
.
故答案为：．
12．如图，在中，于点，，则 ．

【答案】
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴,
∴,
则=．
故答案为：.
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：点和在二次函数的图象上，
该函数图象的对称轴为直线，
二次函数的图象与轴交于，两点，
点的横坐标为：，
点的坐标为，
故答案为：．
14．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为 ．
【答案】3
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝﹣中，得
﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝3，
故答案为：3．
15．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ．
【答案】
【详解】解：设，
∵四边形为矩形，对角线、交于点O，
∴，，，，
∵，则，
∴，则是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为 ．
【答案】4
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（4分）如图，，相交于点，．
求证：△∽△.
【详解】解：∵，，
∴，分
∵，
∴△∽△. 分
18．（5分）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【详解】（1）抛物线经过点，，
，
解得， 分
；分
（2），
顶点坐标为．分
19．（6分）已知二次函数，过点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当取何值时，．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
所以二次函数的表达式为；分
（2）解：令，
解得：或， 分
∴二次函数的图象与x轴交于和，
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，x的取值范围是．分
20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高是？
【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：，分
∵，
∴，分
∴，分
∴，即，分
∴，
∴该古城墙的高度是．分
21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且与轴交于点，点A的坐标为．
(1)求及的值；
(2)求的面积．
【详解】（1）解：由题意可得：点在函数的图象上，
，即， 分
在反比例函数的图象上，
，
； 分
（2）解：连接、，
由（1）可知一次函数解析式为，令，得，
点的坐标是， 分
由解得，，
由图象可得：点的坐标为，
. 分
22．（5分）如图，在中，，点在上，于点．
(1)求证：；
(2)，且，求的长．
【详解】（1）证明：于点，，
，
，
； 分
（2）解：，
，
，，，
，
． 分
23．（5分）在平面直角坐标系中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
(1)若点2,1在该抛物线上，求t的值；
(2)当时，对于，都有，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∴； 分
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大；
当时，
∵，
∴此时满足；
当时，
∵，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴此时满足；
当时，一定会有的值满足，即此时，不符合题意；
当时，若，且时，此时，不符合题意；
综上所述，. 分
24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．
(1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
(2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
【详解】（1）设涨价x元时，由题意得
， 分
解得（舍去），，
∴（元），
答：要想获得6000元的利润，该商品应定价为70元；分
（2）设涨价x时，每周售出商品的利润为y元，
， 分
∴当时，y有最大值，最大值为6250，
∴定价为（元），
答：每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． 分
25．（5分）已知与成正比，当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求函数的值；5
（3）将所得函数的图象向右平移个单位，使它过点，请求出的值．
【详解】（1）设，
∵当时，，
∴，解得，
∴，
∴与之间的函数关系式为； 分
（2）当时，； 分
（3）设平移后的解析式为，
将代入得：，解得：． 分
26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m．
(1)在给出的图中画出平面直角坐标系；
(2)求出水管的长度．
【详解】（1）解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系；如图所示：
分
（2）解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3(0≤x≤3)， 分
∵当x=0时，y=-×（0-1）2+3=-+3=，
∴水管的长度为m． 分
27．（8分）如图，在等腰直角中，，D为平面上一动点，在运动过程上保持于点D，将沿翻折得到，在直线上取点F，作．
(1)如图，若与相交于点G，求证；
(2)猜想的形状，并说明理由．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∴； 分
（2）为等腰直角三角形，分
理由：由（1）得．
又∵，
∴， 分
∴，
∴，
由翻折得．
∴， 分
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形． 分
28．（8分）在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
(1)若，
①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______；
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______；
(2)若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______．
【详解】（1）解：①在中，当时，，时，，时，，时，；
在中，当时，，时，，时，，时，；
∵，，，，
∴只有，是抛物线C的“如意点”，
故答案为：； 分
②点E是点D与抛物线C的“称心点”，
∴点E和点D关于直线对称，
∴的长等于点D到直线的距离的两倍，
∴当点D到直线的距离最大时，有最大值，
根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点，
∴当平行于直线的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，
设直线恰好与抛物线有一个交点，
联立得，
∴，
解得，
∴，解得，
∴此时点D与原点重合；
如图所示，设直线分别与x轴，y轴交于G、H，则，
∴，
∴，
设交于F，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：； 分
（2）解：由（1）可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域（包括边界），
∴抛物线C的“称心点”一定在直线与抛物线围成的封闭区域外面，
∵边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，
∴正方形边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大，
∴当恰好正方形上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线一定经过正方形的一条对角线，
此时有轴，
∴此时关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，
∴的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得，
∴，
∴b的最小值即为． 分