2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量a=(1,−3,5),b=(2,x,y)，且a//b，则x+y=( )
A. 10B. 6C. 4D. −4
2.若zi3=2+i，则z=( )
A. 1−2iB. −1+2iC. −1−2iD. 1+2i
3.若向量a=(−1,2),b=(m+1,2)，且(a+b)⊥a，则m=( )
A. −8B. 8C. −2D. 2
4.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70,100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70,80)，[80,90)，[90,100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[70,80)内的被抽取的学生人数为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
5.已知α，β是两个不同的平面，l，m是α内两条不同的直线，则“l//β，且m//β”是“α//β”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V=( )
A. 29πB. 31πC. 87πD. 93π
7.图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF//平面HCD，AG=GF=CH=HD=AB，底面ABCDEF为正六边形，下列结论错误的是( )
A. GH//平面ABCDEF
B. GH⊥平面AFG
C. 平面HCD⊥平面ABCDEF
D. 平面ABG⊥平面ABCDEF
8.如图，在棱长为12的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，B1C1的中点，平面A1EF与直线CC1交于点N，则NF=( )
A. 10
B. 15
C. ( 5+2 5)×2=6 5
D. 2 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则( )
A. 丙组数据的中位数为5B. 甲组数据的70%分位数是2
C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+csinA=5sinA，bc=b+c+1，△ABC的面积为2 2，则△ABC的周长可能为( )
A. 8B. 5+ 17C. 9D. 5+ 15
11.已知边长为4 3的正三角形ABC的三个顶点都在球O的表面上，P为球O表面上一动点，且P不在平面ABC上，当三棱锥P−ABC的体积最大时，直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则下列结论正确的是( )
A. 球O的表面积为64π
B. PA的最大值为10
C. 三棱锥P−ABC体积的最大值为32 3
D. 当三棱锥P−ABC的体积最大时，若点Q与点P关于点O对称，则三棱锥Q−ABC的体积为8 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(1,1,m)，若a,b,c共面，则m= ______．
13.已知数据1，1，3，m，4，7的极差为6，且80%分位数为m2−20，则m= ___．
14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，AB，AD，AA1两两所成夹
角均为60°，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=2B1E，D1F=2DF，则|EF|= ___；
直线AC1与EF所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作、共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90,100]内，并将部分数据整理如下表：
(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；
(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a= 2b,b2+c2+ 2bc=a2．
(1)求B；
(2)若a=4 2，在BC边上存在一点D，使得DA⊥AC，求AD的长．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC,AC=PA= 2,PB= 3．
(1)证明：PA=PC；
(2)求二面角C−PA−B的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60°方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西60°的方向行驶.甲船立即通知在其正西方向且相距30 3海里的P处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合．
(1)求PN的长；
(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
19.(本小题17分)
将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD的位置，使得二面角E−AD−B的大小为π3，连接BE，CF，得到几何体ABE−FDC.已知AB=4,∠DAB=π3,M,N分别为AF，BD上的动点且AMAF=BNBD=λ(0