[数学]江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次调研考试试题(解析版)

这是一份[数学]江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次调研考试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题知，
，
，
故选：C.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】 “，”的否定为“，”，
故选：C.
3. 若，则的最小值为（ ）
A. 9B. 18C. 24D. 27
【答案】A
【解析】根据题意可得；
当且仅当，即时，等号成立；
此时的最小值为9.
故选：A.
4. 已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.
5. 我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】，
故选：D.
6. 年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
7. 已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ）
A. （3，4）B. （2，4）C. [0，4）D. [3，4）
【答案】D
【解析】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．
由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．
设与交点的横坐标为，，
设，则，，
由得，
所以，即．
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则．
故选：D.
8. 是在上的连续函数,设,则（ ）.
A. B.
C. D. .
【答案】A
【解析】对CD，取,则有，
则，则，故C错误，，则，故D错误；
对B，取,则.
此时,则B选项错误；
由绝对值不等式得,
因此
，
因此选项A正确.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 有两个极值点
C. 的极小值为D. 在上的最大值为
【答案】BD
【解析】由题设，
令，则或，令，则，
所以、上递增，上递减，
故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；
在上，在上递减，在上递增，而，
所以在上的最大值为，D正确.
故选：BD.
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 函数定义域为，则的定义域为
B. 函数是奇函数
C. 已知函数存在两个零点，则
D. 函数在上为增函数
【答案】AB
【解析】对于A，由函数定义域为，则，
因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，函数定义域为R，
且，所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，
则可得，令，，
结合函数图象可设，，则，

所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；
对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.
故选：AB
11. 已知，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由于，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
即的最小值为 ，A正确；
对于B，由于，，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，得，
故
由于，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，则，
故，
由于，故，
，
则，
当且仅当，结合，
即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ，函数没有极值的充要条件为______．
【答案】
【解析】，注意到是开口向上的二次函数，
若没有极值，则只能是f'x≥0恒成立，
即，解得．
13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由复合而成.
而单调递增，只需要单调递减.
且在上恒成立.则即可，解得.
故实数a的取值范围是.
14. 设集合则集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．
【答案】1
【解析】，，则，
构造函数，则，
令，则，
当，，当，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则，
令，则函数在上单调递增，在上单调递减，
且时，，
因此结合函数的性质知，，，
当时，，
又当时，，当时，，
又，故，因此当时，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.
解：（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴
是的充分条件，，，解得，
即实数a的取值范围是.
16. 已知函数，的解集为．
（1）求f(x)的解析式；
（2）当时，求的最大值．
解：（1）因为函数，的解集为，
那么方程的两个根是，2，且，
由韦达定理有，
所以．
（2），由，则：
根据均值不等式有：，当且仅当 ，即时取等号，
∴当时，．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.

（1）求点到平面ABCD的距离；
（2）在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题设，知，所以.
又，所以为等边三角形，所以.
在中，，所以.
即，则.
所以，即，
又，且平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
如图1，设为的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面.
所以平面，所以即为点到平面的距离.
在中，，所以.
即点到平面的距离为.

（2）如图2，连接OC，则，且平面ABCD，
所以，所以PO，BD，OC两两互相垂直.
以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则，
所以.
若上存在点满足题意，不妨设，则，
所以.
设m=x,y,z是平面的法向量，
则，解得，
不妨取，则平面的一个法向量为.
同理，设是平面的法向量，
则，解得，不妨取，
则，所以平面的一个法向量为，
所以，
化简整理得，解得或.
即或.
故在的三等分点处存在点，可使得平面与平面夹角的余弦值为.

18. 已知函数，若点在的图像上运动，则点在的图象上运动.
（1）求的最小值，及相应的值；
（2）求函数的解析式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性；
（3）在函数和的图象上是否分别存在点关于直线对称，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1），当且仅当即时，等号成立，即的最小值为2，对应的为0.
（2）设图象上点，由题：，所以
点在的图像上运动，则，
所以，，由得其定义域为
所以，定义域为
在定义域内为增函数，证明如下：
任取，根据指数函数和对数函数单调性有：
，，
，
即
所以在定义域内是增函数.
（3）假设函数和的图象上分别存在点关于直线对称，
设其坐标，则有：解得：
故在函数和的图象上分别存在点关于直线对称.
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数的值；
（2）证明：当时，；
（3）设为实数，讨论方程的解的个数.
（1）解：由，有，
可知，
由题意，，
所以，解得.
（2）证明：由（1）知，，
令，
则，
所以φx在其定义域内为增函数，
又，
时，，得证.
（3）解：的定义域是，
.
①当时，，所以hx在上单调递增，且，
所以hx在上存在1个零点；
②当时，令，
由，得.
又因为，所以.
当时，因为，所以hx在上存在1个零点，
且；
当时，因为，
，而hx在单调递增，且，
而，故，所以hx在上存在1个零点；
当时，因为，
，而hx在单调递增，且，而，
所以，所以hx上存在1个零点.
从而hx在上存在3个零点.
综上所述，当时，方程有1个解；
当时，方程有3个解.+
0
-
0
+
hx
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增