[数学]黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟试题(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
2. 五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：
不同的报名方法的种数是.
本题选择D选项.
3. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
4. 已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】，，
则，即，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
故点到直线距离的最大值为．
故选：．
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】设经过个小时才能驾驶，则即.
由于在定义域上单调递减，.
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
6. 已知为不共线平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，
故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，
故选：D．
7. 已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以是偶函数，，
所以可化为：
，又在区间上单调递减，所以在0,+∞上递增，
所以，即或，
即或．
故选：．
8. 已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知当时，，
令f'x<0可得：；令f'x>0可得：；，
故上单调递减，在0,1上单调递增，
，且当时，，
当趋近于负无穷时，趋近于0；
当时，图象的对称轴为直线，．
故作出的大致图象如图所示．
令，数形结合可知要使有5个零点，
需使方程有2个不同的实数根，且，或．
①若，，则，不成立，舍去．
②若，，则，解得．
当时，方程为，解得或，不符合方程2个根的取值范围，舍去．
故实数的取值范围为．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：，，，，，，，，，，这组数据的上四分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
【答案】ABC
【解析】对于A，把10次射击成绩从小到大排列为，，，，，，，，，.
由，可得这组数据的上四分位数为第个数，等于，故A正确；
对于B，若随机变量，且，则，
，故B正确；
对于C，若随机变量，且，则，
，故C正确；
对于D，对于线性回归方程为：，其中的样本数据可能都不在回归直线上，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A.
B. 函数为奇函数
C. 曲线y=f(x)关于对称
D. 函数y=f(x)在单调递增
【答案】BCD
【解析】因为为函数的一个对称中心，
所以，
即，解得，故A错误；
所以，
，显然为奇函数，故B正确；
，是最小值，
所以曲线y=f(x)关于对称，故C正确；
当时，，所以函数y=f(x)在单调递增，故D正确．
故选：BCD．
11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，由等体积法，三棱锥的高为，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，，
，，
若，则，
即，取，此时点与点重合，满足题意，
所以存在点，使得，B正确；
对于C，，若，，即，
所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，C错误；
对于D，如图取中点，连接，
由题可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，
又， 平面，则平面，
又取中点为，则，有四点共面，则平面即为平面，
又由两平面平行性质可知，，，，
又都是中点，故是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又正方体棱长为，则，
故截面面积为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已如角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得，
所以.
13. 已知，则______. (用数字作答)
【答案】
【解析】由二项式定理可得展开式中含的项为，
所以．
14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______．
【答案】
【解析】根据题意可设，，Mx,y，
又F1,0，，，
，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
直线的斜率的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设，若数列的前项和为，且是与的等差中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
解：（1）因为是与的等差中项，可得，
当时，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，所以；
（2）若是以为首项，为公差的等差数列，
则，
可得，
数列的前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
16. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
（1）求小张同学被终止比赛的概率；
（2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；
（3）求小张同学获得三等奖的概率．
解：（1）从类道题中任选道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，
所以小张同学被终止比赛的概率为．
（2）由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
（3）小张获得三等奖，共有两种情况，
①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），
概率为；
②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），
概率为，
所以小张同学获得三等奖的概率为．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
（1）证明：因为平面，又平面，则，
又，且，，平面，故CD平面；
又面，
，
，为中点，
，
，CD，面，
面；
（2）解：过点作AD的垂线交于点，
因为平面，且，平面，所以，，
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A0,0,0，，，，，
因为为的中点，则，所以，
又，所以，故，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，即，
令，则y=-1，x=-1，故，
又因为平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角余弦值为；
（3）解：直线不在平面内，
因为点在上，且，
又，故，
则，
由（2）可知，平面的法向量为，
所以，所以直线不在平面内．
18. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值．
（1）解：因为虚轴长为2，即，所以．
又因为有一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）证明：由题意，点A与点P关于原点对称．
设Ax0,y0，则．
由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k，
记直线m的方向向量为，又直线m为的平分线，
则．
因为，
所以，
同理，
又，代入得，
，化简得．
所以，即直线与直线m的斜率之积为定值；
（3）解：由（2）可知．
又，所以，
将代入得，，
所以．
设直线m的方程为，
将代入得，
所以直线m的方程为．
由点到直线距离公式得，．
又直线的斜率为，设直线的方程为，
将代入得，
所以直线的方程为．
将其与联立得．
设Ax1,y1,Bx2,y2，则．
由得，
所以．
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当且仅当时，的最小值为3．
19. 设，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，证明：；
（3）证明：.
（1）解：因为的定义域为，且，
所以为偶函数，
下取，
当时，，则，
当时，则，可知在内单调递增，
当时，令，则，
可知在内单调递增，
因为，则，使得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
则在内恒成立，可知fx在内单调递减；
综上所述：fx在内单调递减，在内单调递增，
所以在内的最小值为，
又因为为偶函数，所以在内的最小值为.
（2）解：由（1）可知为定义在上的偶函数，下取，
可知，令，
因为，则，
则在内单调递增，可得，
即在内恒成立，可知在内单调递增，
所以在内的最小值为，
结合偶函数性质可知：.
（3）证明：由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立，
即，令，则，
当时，，
即，
则有：，，，，
相加可得：，
因为，则，所以，
即.