[数学]安徽省六安市四校2024届高三下学期4月月考联考试卷(解析版)

这是一份[数学]安徽省六安市四校2024届高三下学期4月月考联考试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】或，
，故.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】，
所以，
所以，
故选：B.
3. 设，是两个不同平面，，是两条不同直线，则的一个充分条件是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，与相交
【答案】C
【解析】对于选项A，当满足，，时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误；
对于选项B，当满足，，时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误；
对于选项C，因为，，又，所以，故，，是的一个充分条件，故C正确；
对于选项D，当满足，，与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故D错误；
故选：C.
4. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：C．
5. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故选：B．
6. 已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，，
又因为关于的方程至少有两个不同的实数根，
所以至少有两个不同的实数根，
即的图象与至少有两个不同的交点，所以，
又因为当时，，令，可得；
当时，，令，解得，
又因为，所以，解得．
故选:D．
7. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，可得，
即，
整理可得，
即，
在三角形中，，
即，,可得；
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
而，所以，
所以．
即该三角形的面积的最大值为．
故选：A．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，设，，则直线的方程为，
令，得到，所以，
，因为，
所以，得到，故，
又，所以，得到，
又，所以，得到①，
又因为在双曲线上，所以②，又③，
由①②③得到，所以，
解得或，
又，所以，得到，
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，圆，则（ ）
A. 两圆的圆心距的最小值为1
B. 若圆与圆相切，则
C. 若圆与圆恰有两条公切线，则
D. 若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2
【答案】AD
【解析】根据题意，可得圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径．
对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确；
对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得．
两圆外切时，圆心距，即，解得．
综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确；
对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，，
即，可得，解得且，故C项不正确；
对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值，
因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确．
故选：AD．
10. 已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A.
B. 对任意成等比数列
C. 对任意，都存在，使得成等差数列
D. 若，则数列递增的充要条件是
【答案】ACD
【解析】对于A：当时，，，故成立，
当时，，，所以成立，故A正确；
对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误；
对于C：当时，，故不成等差数列，
当时，若存在，使成等差数列，
则，则，
整理得，所以，所以，
所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确；
对于D：，若是递增数列，
则可得，因为，所以，可解得，
所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数为奇函数
C. 当时，函数恰有两个零点
D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则
【答案】BCD
【解析】易知，
同理，
，
对A, 先减后增，故A错误；
对B, 为奇函数，故B正确；
对C, ,则在单调递增，
在单调递减，即在单调递增，在单调递减，
又，
，
故函数恰有两个零点，故C正确；
对D,易知，令，则，
，,
………
,
则，
故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为_________．
【答案】15
【解析】因为的展开式的通项公为，
由，得到，所以的系数为，
13. 抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则_________．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线：，设准线与轴交于点，则，
依题意、均在轴的左侧，又，所以也在轴的左侧且点在轴上方，
又为圆的直径，所以，即，
由抛物线的定义可知，又，
所以等边三角形，所以，则，
所以，
所以，，
在中
.

14. 已知实数，满足，则
的最小值为_________．
【答案】
【解析】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
设为空间任意一点，因为，则P在平面所在的平面内运动，
表示P与点和点的距离之和，
因为关于平面的对称点为D，故，
当且仅当为中点即为正方体中心时等号成立；
表示P与点和点的距离之和，则，
当且仅当在所在直线上时等号成立，
故的最小值为，当且仅当为正方体中心时等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图所示，取的中点，连接．
因为是正三角形，所以．
又因为平面底面平面，平面平面，
所以平面，且．
又因为是的中点，到平面的距离为，
，
所以三棱锥的体积为．
（2）连接，因为，
所以为等边三角形，所以，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，解得，取，则，
所以．设与平面所成角为，
则．
即与平面所成角的正弦值为．
16. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
解：（1）因为，所以，再将点代入得，
解得，故椭圆的方程为；
（2）由题意可设，
由可得，
易知恒成立，所以，
又因为，
所以直线的方程为，
令，则，故，
同理，
从而，
故为定值．
17. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．
（1）证明：；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附：．
解：（1）
，
，
同理．
所以.
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，
则，
所以
又，所以．
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．
（3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布，
所以．
．
故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级．
18. 已知曲线在点处的切线为．
（1）求直线的方程；
（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；
（3）设，求证：．
（1）解：因，
所以，
所以直线的方程为：，即
（2）证明：令，则，
令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方．
（3）证明：由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，故，

由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．
19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．
（1）计算点和点之间的“距离”；
（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；
（3）证明：对任意点．
（1）解：由定义知，；
（2）解：设是以原点为圆心，以为半径的-圆上任一点，
则．
若，则；
若，则有．
由此可知，以原点为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：
则“圆”的面积为.

（3）证明：考虑函数．
因为，所以在上单调递增．
又，
于是
，
同理，．
不妨设，
则
.性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19