高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第五课时利用导数解决函数的零点问题学案

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(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0；
(3)涉及两函数的交点，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤
第一步：利用导数证明该函数在该区间上的单调性；
第二步：证明端点的导数值异号．
[典例1] (2024·雅安模拟)已知函数f (x)＝x2－x－a－6ln x．
(1)求曲线y＝f (x)在点(1，－a)处的切线方程；
(2)讨论f (x)在(0，4]上零点的个数．
[解] (1)函数f (x)＝x2－x－a－6ln x，x∈(0，＋∞)．
f ′(x)＝2x－1－6x，f ′(1)＝－5，
∴曲线y＝f (x)在点(1，－a)处的切线方程为y＋a＝－5(x－1)，
即5x＋y＋a－5＝0．
(2)f ′(x)＝2x－1－6x＝2x+3x-2x，f ′(2)＝0．
当x∈(0，2)时，f ′(x)0，函数f (x)单调递增．
∴x＝2时，函数f (x)取得极小值，f (2)＝2－a－6ln 2．
x→0＋时，f (x)→＋∞；f (4)＝12－a－12ln 2．
当f (2)＝2－a－6ln 2>0时，即af (0)＝0，不合题意．
所以若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，则a的取值范围为(－∞，－1)．
跟进训练3 已知函数f (x)＝(x－a)ln x－x＋a－3(a∈R)．
(1)若a＝0，求f (x)的极小值；
(2)讨论函数f ′(x)的单调性；
(3)当a＝2时，λ≤f (x)恒成立，求λ的最大整数值．
[解] (1)当a＝0时，f (x)＝x ln x－x－3，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－1＝ln x，
所以在区间(0，1)上，f ′(x)0，f (x)单调递增．
所以当x＝1时，f (x)取得极小值f (1)＝－4．
(2)f (x)＝(x－a)ln x－x＋a－3的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ln x＋x-ax－1＝ln x－ax．
令h(x)＝ln x－ax(x>0)，h′(x)＝1x＋ax2＝x+ax2，
当a≥0时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)即f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a