高考数学科学创新复习方案提升版高考大题冲关系列（6）概率与随机变量及其分布列的热点题型学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版高考大题冲关系列（6）概率与随机变量及其分布列的热点题型学案（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了2－10×1，635＝x0，4 20，3 19，4，后续依次为17，2，第21位数据为23等内容，欢迎下载使用。
题型1 求离散型随机变量的均值与方差
例1 (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
故随机变量X的分布列如下：
(2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则随机变量Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.
故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
因为E(Y)>E(X)，故应先回答B类问题．
变式训练1 (2024·保定开学考试)2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领．经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业．我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展．已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值X服从正态分布N(64，100)，且质量指标值在[54，84]内的零件称为优等品．
(1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01)；
(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量Y表示抽取的5件中优等品的个数，求Y的分布列、数学期望和方差．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
解 (1)由题意知，X～N(64，100)，则μ＝64，σ＝10，54＝μ－σ，84＝μ＋2σ，
由P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，
得P(54≤X≤84)＝P(54≤X≤64)＋P(64≤X≤84)＝eq \f(1,2)×0.6827＋eq \f(1,2)×0.9545≈0.82.
故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.
(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(Y＝0)＝(1－0.82)5，
P(Y＝1)＝Ceq \\al(1,5)×0.82×(1－0.82)4，
P(Y＝2)＝Ceq \\al(2,5)×0.822×(1－0.82)3，
P(Y＝3)＝Ceq \\al(3,5)×0.823×(1－0.82)2，
P(Y＝4)＝Ceq \\al(4,5)×0.824×(1－0.82)，
P(Y＝5)＝0.825，
则Y的分布列为
由Y～B(5，0.82)，则E(Y)＝5×0.82＝4.1，D(Y)＝5×0.82×(1－0.82)＝0.738.
题型2 概率与统计的综合问题
例2 (2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)
解 (1)平均年龄eq \(x,\s\up6(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，
所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.
(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，
由频率分布直方图知，这种疾病患者的年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(0.00023,16%)≈0.0014.
变式训练2 (2023·深圳模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛．
(1)下表为某10位同学的预赛成绩：
求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；
(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望．
解 (1)因为10×0.75＝7.5，所以上四分位数为第8个成绩，为96；
平均数为eq \f(93×2＋94×2＋95×3＋96＋97＋98,10)＝95.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，
所以P(X＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，
P(X＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，
P(X＝4)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(10,36)＝eq \f(5,18)，
P(X＝5)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(11,36)，
所以X的分布列为
E(X)＝2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,4)＋4×eq \f(5,18)＋5×eq \f(11,36)＝eq \f(134,36)＝eq \f(67,18).
题型3 概率与线性回归的综合问题
例3 某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的经验回归方程eq \a\vs4\al(\(y,\s\up6(^)))＝eq \a\vs4\al(\(b,\s\up6(^)))x＋eq \a\vs4\al(\(a,\s\up6(^)))；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由；
(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的增氧冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：
若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台增氧冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期增氧冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝

解 （1）依题意，得
所以eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(3,13)x＋eq \f(37,13)，
当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(67,13)>5，故此方案可行．
(2)设盈利为Y，提供1台，盈利Y＝5000.
提供2台，当20