2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． 清华大学B． 北京大学
C． 中国人民大学D． 浙江大学
2．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
3．（3分）和点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
4．（3分）如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
5．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接EA．则∠BAE的度数为（ ）
A．30°B．80°C．90°D．110°
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
10．（3分）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．AP＝BQD．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）五边形的内角和为 度．
12．（3分）如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是 ．
13．（3分）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是 ．
14．（3分）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB＝ 度
15．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为 度．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ．
17．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于点P，如果AP＝2，则AC的长为 ．
18．（3分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有 个．
三、解答题：本大题共9个小题，共46分.19题5分，20题4分，21--25题每题5分，26，27题每题6分.
19．（5分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连接AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： ）；
∴∠ABC＝ ，（依据： ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
20．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．
21．（5分）已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．
求证：BC＝EF．
22．（5分）已知：如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求证：AD＝BE．
23．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：AE⊥CF；
（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1OB1的面积．
25．（5分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
26．（6分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠CAP＝20°，则∠AMQ＝ °．
（2）判断AP与QM的数量关系，并证明．
27．（6分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．
（1）如图1，当点E在CA上时，填空：AD DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD与DF的数量关系，并证明你的结论．
附加题
28．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 ．
（2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
（3）拓展应用
如图4，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝，在四边形ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．
①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为 ；
②直接写出△PBC的“顶心距”的长为 ．
2021-2022学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． 清华大学B． 北京大学
C． 中国人民大学D． 浙江大学
【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cmB．8cm，8cm，18cm
C．3cm，3cm，5cmD．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A.3+5＝8，不能构成三角形，故不符合题意；
B.8+8＝16＜18，不能构成三角形，故不符合题意；
C.3+3＝6＞5，能构成三角形，故符合题意；
D.3+4＝7＜8，不能构成三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．（3分）和点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（﹣3，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（3分）如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．30°C．50°D．80°
【分析】由翻折的特点可知，∠ACB＝∠ADB＝100°，进一步利用三角形的内角和求得∠BAC的度数即可．
【解答】解：∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC
＝180°﹣100°﹣30°
＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查翻折的特点：翻折前后两个图形全等；以及三角形的内角和定理的运用．
5．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答
【解答】解：∵四个选项中只有AD⊥BC，
∴C正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟记三角形高线的定义是解题的关键．
6．（3分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正确结论．
【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
④等底等高的两个三角形不一定全等，错误；
故选：B．
【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
7．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接EA．则∠BAE的度数为（ ）
A．30°B．80°C．90°D．110°
【分析】根据∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD，只要求出∠BAC，∠EAD即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAD＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，
∵点P到∠xOy的两边距离相等，
∴点P的坐标为（3，3）
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OABB．PQ∥AB
C．AP＝BQD．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：连接AQ，BP，如图，
由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，
∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，
∴PQ∥AB；
∵BQ垂直平分PA，
∴QP＝QA，
若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的判定与性质．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）五边形的内角和为 540 度．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理．
12．（3分）如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是 7cm或8cm ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当2是腰时，2，2，3能组成三角形，
周长＝3+2+2＝7（cm）；
当3是腰时，3，3，2能够组成三角形，
周长＝3+3+2＝8（cm），
综上所述，周长为7cm或8cm，
故答案为：7cm或8cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
13．（3分）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是 40°或100° ．
【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
14．（3分）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB＝ 60 度
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
15．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为 90 度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： 将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度（答案不唯一） ．
【分析】依据轴对称变换以及平移变换，即可得到由△ABC得到△DEF的过程．
【解答】解：将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度，即可得到△DEF．
故答案为：将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度（答案不唯一）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称或平移，解题的关键是灵活运用图形的基本变换解决问题．
17．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于点P，如果AP＝2，则AC的长为 6 ．
【分析】先计算出∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠DBP＝30°，接着计算出∠BAD＝30°，则BP＝AP＝2，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出PD，从而得到AC的长．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴BP＝AP＝2，
在Rt△PBD中，PD＝PB＝1，
∴AD＝AP+PD＝2+1＝3，
在Rt△ADC中，AC＝2AD＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成相等的两部分；角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．（3分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有 5 个．
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：①作AB或DC的垂直平分线交l于P；
②在长方形内部
在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC．
【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC，
如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC，
综上所述，符合条件的点P有5个．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．
三、解答题：本大题共9个小题，共46分.19题5分，20题4分，21--25题每题5分，26，27题每题6分.
19．（5分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连接AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ BP ，（依据： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ）；
∴∠ABC＝ ∠BAP ，（依据： 等边对等角 ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
【分析】作AB的垂直平分线交BC于P点，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，再根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠BAP，然后根据三角形外角性质得到∠APC＝2∠ABC．
【解答】解：如图，点P为所作；
理由如下：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴∠ABC＝∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴∠APC＝2∠ABC．
故答案为BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．
【分析】根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠A．欲求∠ACD，需求∠B．由DF⊥AB，得∠AFD＝90°．由∠AFD＝∠B+∠D，得∠B＝∠AFD﹣∠D＝50°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键．
21．（5分）已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．
求证：BC＝EF．
【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
22．（5分）已知：如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求证：AD＝BE．
【分析】根据题意得出∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，进而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．
【解答】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC．
∵∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（ASA）．
∴AD＝BE．
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
23．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：AE⊥CF；
（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解决问题；
（2）由等腰直角三角形得出∠ACB＝45°，证明∠BAE＝∠BCF＝25°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：延长AE交CF于点H，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF，
∵∠F+∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠F＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∴∠ACF＝45°+25°＝70°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1OB1的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点A1和点B1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1OB1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；A1（1，2），B1（﹣2，1）；
（2）△A1OB1的面积＝3×2﹣×1×2﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
25．（5分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠BDE＝∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A＝∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠A，∠ACD+∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC．
【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．
26．（6分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠CAP＝20°，则∠AMQ＝ 65 °．
（2）判断AP与QM的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，则∠PAB＝25°，再由直角三角形的性质即可求解；
（2）连接AQ，由线段垂直平分线的性质得AP＝AQ，则∠QAC＝∠PAC．再证∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后证∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出结论．
【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠B＝45°．
∵∠CAP＝20°，
∴∠PAB＝25°．
∵QH⊥AP于点H，
∴∠AHM＝90°．
∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
（2）解：AP＝QM，证明如下：
连接AQ，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥PQ．
又∵CQ＝CP，
∴AP＝AQ．
∵AC⊥PQ，
∴∠QAC＝∠PAC．
∵∠QMA＝∠MQB+∠B，
∴∠QMA＝∠MQB+45°．
∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，
∴∠QAM＝∠QAC+45°．
∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，
∴∠BQM＝∠PAC．
∵∠QAC＝∠PAC，
∴∠QAC＝∠MQB．
∴∠QMA＝∠QAM．
∴AP＝QM．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明∠QMA＝∠QAM是解题的关键．
27．（6分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．
（1）如图1，当点E在CA上时，填空：AD ＝ DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD与DF的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接BE，先证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，再证△EBM≌△FDM（ASA），得BE＝DF，即可得出结论；
（2）连接BE，先证△ACD和△BCE（SAS），得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，再证△BME≌△DMF（ASA），得BE＝DF，即可得出结论．
【解答】解：（1）AD＝DF，理由如下：
连接BE，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，
∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠FDM+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠FDM，
∴∠EBM＝∠FDM，
∵M是BD的中点，
∴BM＝DM，
在△EBM和△FDM中，
，
∴△EBM≌△FDM（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF，
故答案为：＝；
（2）根据题意将图形补全，如图2所示：
AD与DF的数量关系：AD＝DF，证明如下：
连接BE，
∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AD，
∴∠BEC+∠MBE＝∠ADC+∠MDF＝90°，
∴∠MBE＝∠MDF，
∵M是BD的中点，
∴MB＝MD，
在△BME和△DMF中，
，
∴△BME≌△DMF（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
附加题
28．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 2 ．
（2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
（3）拓展应用
如图4，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝，在四边形ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．
①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为 点P是线段BC的垂直平分线与AC的交点， ；
②直接写出△PBC的“顶心距”的长为 ．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得AM＝BM＝CM＝BC，由全等三角形性质可得BC＝DE，即可求解；
②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）过点A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性质可得∠DAN＝∠DAE，ND＝DE，由全等三角形的性质可得ND＝AM，则可得结论；
（3）①由“顶补等腰三角形”定义可求解；
②由“顶心距”的定义可求解．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠DAE＝180°
∴∠DAE＝∠BAC＝90°
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC
∴AM＝BM＝CM＝BC
∵AB＝AC＝AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC＝90°
∴△DAE≌△CAB（SAS）
∴BC＝DE，
∴AM＝DE
故答案为：
②∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠DAE＝180°
∴∠DAE＝60°，
∵AB＝AC＝AD＝AE，∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠ABM＝30°，△ADE是等边三角形
∴AB＝2AM，DE＝AD＝AE＝6＝AB，
∴AM＝3
故答案为：3
（2）猜想：结论AM＝DE．
理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝∠DAE，ND＝DE
同理可得：∠CAM＝∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND与△AMC中，
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝DE
（3）①如图，线段BC的垂直平分线交AC于点P，连接DP，BP，
理由如下：∵AD＝AB，CD＝BC，且AC＝AC
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°
∴∠ACB＝60°，AC＝2BC
∵PN垂直平分BC
∴PC＝PB，且∠ACB＝60°
∴△PBC是等边三角形，
∴AC＝PC，∠BPC＝60°
∴AP＝PC，且∠ADC＝90°
∴AP＝DP
∴△ADP是等腰三角形，∠ADP＝∠DAP＝30°，
∴∠APD＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°
∴△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．
故答案为：线段BC的垂直平分线交AC于点P，
②如图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠DAC＝30°，PH⊥AD，∠ADC＝90°
∴HP＝AP，AC＝2CD＝2
∵AP＝PC
∴AP＝
∴PH＝
∴△PBC的“顶心距”的长为
故答案为：
【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键．
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