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新高考数学二轮培优大题优练13 导数极值点偏移（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）递减区间 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）（i） SKIPIF 1 < 0 ，（ii）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）（i） SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的零点，
① SKIPIF 1 < 0 时，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）知所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即要使 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
（ii）由（i）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只要证 SKIPIF 1 < 0 ，就要证 SKIPIF 1 < 0 ，
由上可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以只要证 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只要证 SKIPIF 1 < 0 ，（*）
令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即（*）式成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 得证．
例2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
模拟优练
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）判断函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数；
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）①两个；②证明见解析．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）（i） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 至多有两个零点．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个零点；
由（1）可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个零点，
综上，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点．
（ii） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（i）知 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点．
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
命题得证．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 存在极值点1，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 存在两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 存在极值点为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
经检验符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，不符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 存在两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ．
3．设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中a为实数．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题设可知， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 等价于方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 ，
也等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点．
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减．
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取对数可得 SKIPIF 1 < 0 ，即只需证明 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，求实数n的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0
②─①，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，③
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，由③知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，易知 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由条件知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象两交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
可知 SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
考虑到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 单增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 成立．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
欲证： SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证明 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
即证： SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以原不等式成立．
方法二：由（1）可知，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以原不等式 SKIPIF 1 < 0 成立．