第22章 人教版数学九年级上册教案7 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式

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22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 典案二 导学设计【学习目标】复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。【学习重难点】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式【课标要求】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式一、一、情景创设 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?二、实践与探索 例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝ 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。请同学们完成本例的解答 例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。 例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k) 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。五、作业1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。 6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4 eq \r(6)米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4 eq \r(3)米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?课题第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式授课人教学目标知识技能1.让学生利用已知条件设恰当的函数解析式，用待定系数法求二次函数的解析式；2.指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题.数学思考通过一题多解和不同形式不同解答方案的教学方式和方法，培养学生的思维能力和转化能力.问题解决让学生在经历识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，提升数学思维意识.情感态度让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣；让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用.教学重点如何根据已知条件设恰当的函数解析式.教学难点在实际问题中，体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.求下列函数的解析式：（1）一个正比例函数的图象经过点（2，－4）；（2）一个一次函数的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，6）.2.用待定系数法求函数解析式的基本步骤有哪些？3.学习过的二次函数的解析式有哪些？师生活动：学生独立完成并进行口述，教师对学生的解答情况进行评价并总结：用待定系数法求函数解析式的步骤：设出解析式、列出方程（组）、解方程（组）、代入.二次函数的解析式：一般式：y＝ax2＋bx＋c；顶点式：y＝a（x－h）2＋k.在学生解决两个问题的基础上进一步体会知识，为后面的学习做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：有一个截面为抛物线形的立交桥桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图22－1－33所示的平面直角坐标系中，请求出这条抛物线的函数解析式.图22－1－33师生活动：学生感知问题，独立思考.通过实际问题设疑，使学生感受数学来于实际，用数学又可以解决实际问题，相得益彰.活动二：实践探究交流新知1.探究新知例1　已知一个二次函数的图象经过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.师生活动：学生独立思考问题，教师提示设出合适的函数解析式，学生自主进行解答，教师做好辅导工作.学生进行分析，根据图象经过三个点，可设二次函数的一般式，再把三个点的坐标代入后解三元一次方程组即可.教师展示学生作业，然后展示正确答案.解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝10，a＋b＋c＝4，4a＋2b＋c＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，b＝－3，c＝5，))所以这个二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋5.例2　已知抛物线的顶点坐标为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求这个抛物线的函数解析式.师生活动：教师指导学生根据例1的解答过程和步骤，运用类比的思想方法解答此题.学生独立进行解答，教师做好点拨和引导，帮助学生正确解答问题.学生分析问题：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数解析式为y＝a（x－h）2＋k，把顶点坐标代入后，再把另一点的坐标代入求出a的值即可.解：设这个抛物线的函数解析式为y＝a（x＋1）2－3.因为点（0，－5）在抛物线上，所以a－3＝－5，解得a＝－2，所以这个抛物线的函数解析式为y＝－2（x＋1）2－3，化成一般式为y＝－2x2－4x－5.2.归纳总结请学生以小组为单位，讨论总结求二次函数解析式的思路和方法，并讲给大家听.师生活动：教师选派个别学生回答，其他同学进行补充，教师订正、总结：（1）已知图象上三个点或三对x，y的值，通常选择一般式：y＝ax2＋bx＋c，把条件代入得到三元一次方程组，解方程组即可；（2）已知图象的顶点和对称轴，通常选择顶点式：y＝a（x－h）2＋k，先把顶点坐标代入，再把另一点的坐标代入求出a的值，最后化为一般式即可.1.运用类比的思想方法，用待定系数法求二次函数的解析式.已知抛物线上三个点的坐标，运用一般式求解.2.在给定顶点坐标时，设一般式求解较麻烦，所以引导学生采用顶点式解答，这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案，有利于活跃学生的思维，养成善于总结的习惯.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例　已知抛物线的顶点坐标为（20，16），且经过点（0，0），（40，0）.求抛物线的函数解析式.师生活动：教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演，其他同学在练习本上书写解答过程，教师做好指导和评价.解法1：设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.因为抛物线经过（0，0），（20，16），（40，0）三点，所以可得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，400a＋20b＋c＝16，1600a＋40b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,25)，b＝\f(8,5)，c＝0，))所以抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,25)x2＋eq \f(8,5)x.教师评价：利用给定的条件列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，从而确定函数的解析式.解法2：设抛物线的函数解析式为y＝a（x－20）2＋16.根据题意，知点（0，0）在抛物线上，所以0＝400a＋16，解得a＝－eq \f(1,25)，所以抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－20))eq \s\up12(2)＋16，即y＝－eq \f(1,25)x2＋eq \f(8,5)x.教师评价：已知抛物线的顶点，选用顶点式求抛物线的函数解析式.通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的思维能力.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.已知二次函数的图象经过（－1，－9），（1，－3），（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝－6；当x＝2时，y＝10；当x＝3时，y＝24.求此二次函数的解析式.3.已知抛物线的顶点坐标为（－1，－2），且经过点（1，10），求此抛物线的函数解析式.4.已知一条抛物线是由抛物线y＝2x2平移得到的，并且与x轴的交点坐标是（－1，0），（2，0），求该抛物线的函数解析式.[答案：y＝2x2－2x－4]5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝4，最小值为－1，与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的函数解析式.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.1.课堂总结：你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？请谈一谈.教师强调：用待定系数法求函数解析式的两种类型：已知三点坐标用一般式，已知顶点坐标用顶点式.2.布置作业：教材第42页习题22.1第10（2）（4），11题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境环节中，利用实际生活中的问题引导学生思考，学生能够提高兴趣，对数学的应用价值有深入的体会；在探究新知活动中，学生能够在讨论、交流的同时，对于新知有深入的理解，获得求解二次函数解析式的方法.②[讲授效果反思]教师强调本课的重、难点：（1）利用待定系数法求函数解析式，在设解析式时，能够正确选择二次函数解析式的形式；（2）解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；（3）运用顶点式进行求解时，先代入顶点坐标.③[师生互动反思]从教学过程分析，学生运用充分的自主探究、合作交流的时间，能够起到较好的效果，教师点拨到位、举例说明，能够落实课时学习目标.④[习题反思]好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.