2025年高考数学一轮复习-空间角的计算-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-空间角的计算-专项训练【含答案】，共8页。
1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )

A.30°B.45°C.60°D.90°
2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A.52266B.-52266
C.52222D.-52222
3.(2023徐州调研)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
第3题图
第4题图
4.如图,在空间直角坐标系D-xyz中,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,E,F分别为C1D1,A1B的中点,则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
A.-33B.-32C.33D.32
5.(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3AB,则( )
A.AC1与底面ABC所成角的正弦值为12
B.AC1与底面ABC所成角的正弦值为32
C.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为34
D.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为134
6.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,得到如图所示的三棱锥A-BCD,其中O为BD的中点,则下列结论正确的是( )
A.BD⊥平面AOC
B.平面ABC与平面BCD所成角的余弦值为33
C.AC与BD所成的角为90°
D.AD与BC所成的角为30°
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 .
8.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为 .
9.(2024江苏百校大联考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的菱形,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,A1A=3.
(1)求证:平面A1BD⊥平面ABCD.
(2)求直线DC1与平面A1DC所成角的正弦值.
综 合 提升练
10.如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且AC∥OB,OP=AB=2OA,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为( )
A.1010B.55C.110D.34
第10题图
第11题图
11.(多选题)(2023苏州月考)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面是边长为2的正方形,D,E分别是BB1,AC的中点,则下列结论成立的是( )
A.直线A1D与直线BC是异面直线
B.直线BE与平面A1CD不平行
C.直线AC与直线A1D所成角的余弦值等于55
D.直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于105
12.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1上,记D1PD1B=λ.当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围是 .
13.(2023盐城调研)如图,在四面体D-ABC中,AD=BD=AC=BC=5,AB=DC=6.若M为线段AB上的动点(不包含端点),则二面角D-MC-B的余弦值的取值范围是 .
14.阅读材料:在空间直角坐标系O-xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0;过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x-x0u=y-y0v=z-z0w.利用上面的材料,解决下面的问题:已知平面α的方程为3x-5y+z-7=0,直线l是平面x-3y+7=0与平面4y+2z+1=0的交线,则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
15.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,EA⊥平面ABCD,EA∥FD,EA=AD=2FD=2.
(1)证明:FC∥平面EAB.
(2)求二面角E-FC-A的正弦值.
(3)在线段EC上是否存在点M,使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为28?若存在,求EMMC的值;若不存在,说明理由.
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16.(2023苏州调研)如图1,已知等边△ABC的边长为3,点M,N分别是边AB,AC上的点,且BM=2MA,AN=2NC.如图2,将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置.
图1
图2
求证:平面A'BM⊥平面BCNM.
(2)给出三个条件:①A'M⊥BC;②二面角A'-MN-C的大小为60°;③A'B=7.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题的条件中,并作答.
当 时,在线段BC上是否存在一点P,使直线PA'与平面A'BM所成角的正弦值为31010?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.D 2.A 3.A 4.C 5.BC 6.ABC
7.60° 8.45°
9.(1)证明 如图,连接AC,交BD于点O,连接A1O,因为底面ABCD是边长为2的菱形,所以O为BD,AC的中点,且AC⊥BD.又∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,A1A=3,所以BD=2,AO=AB2-OB2=3,A1D=AD2+A1A2-2AD·A1Acs∠A1AD=7,同理可得A1B=7,所以A1O⊥BD,所以A1O=A1B2-OB2=6,
所以AO2+A1O2=A1A2,所以∠A1OA=90°,即AO⊥A1O,
又BD∩A1O=O,BD,A1O⊂平面A1BD,所以AC⊥平面A1BD,
又AC⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面A1BD.
(2)解 由(1)可知A1O⊥BD,如图,以O为坐标原点,以OA,OB,OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,-1,0),C(-3,0,0),A1(0,0,6),C1(-23,0,6),
所以DC1=(-23,1,6),DC=(-3,1,0),DA1=(0,1,6).
设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),
则n·DC=-3x+y=0,n·DA1=y+6z=0,
取n=(-23,-6,6).
设直线DC1与平面A1DC所成角为θ,则sin θ=|n·DC1||n|·|DC1|=1254×19=211457,
所以直线DC1与平面A1DC所成角的正弦值为211457.
10.A 11.AC 12.0,13
13.-916,916 14.1035
15.(1)证明 以D为原点,分别以DA,DT(T为BC的中点),DF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),D(0,0,0),E(2,0,2),F(0,0,1).
EA=(0,0,-2),AB=(-1,3,0),
设n=(x,y,z)为平面EAB的一个法向量,则n·EA=0,n·AB=0,即-2z=0,-x+3y=0,
令y=1,可得n=(3,1,0).
又FC=(-1,3,-1),可得n·FC=0.
又因为FC⊄平面EAB,所以FC∥平面EAB.
(2)解EF=(-2,0,-1),FC=(-1,3,-1),FA=(2,0,-1),
设n1=(x1,y1,z1)为平面EFC的一个法向量,
则FC·n1=0,EF·n1=0,即-2x1-z1=0,-x1+3y1-z1=0,
令z1=6,可得n1=(-3,3,6).
设n2=(x2,y2,z2)为平面FCA的一个法向量,
则FA·n2=0,FC·n2=0,即2x2-z2=0,-x2+3y2-z2=0,
令x2=1,可得n2=(1,3,2).
所以cs=n1·n2|n1||n2|=64,所以sin=1-cs2=104,
所以二面角E-FC-A的正弦值为104.
(3)解 设EM=λEC=(-3λ,3λ,-2λ),则M(2-3λ,3λ,2-2λ),
所以BD=(-1,-3,0),DM=(2-3λ,3λ,2-2λ),
设n3=(x3,y3,z3)为平面BDM的一个法向量,则BD·n3=0,DM·n3=0,
即-x3-3y3=0,(2-3λ)x3+3λy3+(2-2λ)z3=0,
令y3=-1,可得n3=3,-1,23λ-31-λ.
又EB=(-1,3,-2),所以|cs|=-23-2×23λ-31-λ22×4+23λ-31-λ2=28,
解得λ=14或-78(舍去),
所以EMMC=13.
16.(1)证明 由已知得AM=1,AN=2,∠A=60°,
MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cs 60°,解得MN=3,
∴AN2=AM2+MN2,
∴MN⊥AB,∴MN⊥A'M,MN⊥MB.
又∵MB∩A'M=M,∴MN⊥平面A'BM.
又MN⊂平面BCNM,∴平面A'BM⊥平面BCNM.
(2)解 若选条件①A'M⊥BC,则由(1)得A'M⊥MN,BC和MN是两条相交直线,∴A'M⊥平面BCNM.
图甲
又MN⊥BM,∴以M为原点,MB,MN,MA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图甲所示的空间直角坐标系,则A'(0,0,1).
设P(2-a,3a,0),其中0|=3a52-a2+3a2+34=31010,化简得2a2-15a+21=0.
解得a=15±574>32,故不存在点P满足条件.