2025年高考数学一轮复习-导函数的隐零点-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-导函数的隐零点-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

一、基本技能练
1.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－eq \f(3,2).
2.已知函数f(x)＝xex－ax－aln x＋a.
(1)若a＝e，判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的最值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)＋ln x－x－b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))恒成立，求b的最小值.
二、创新拓展练
4.已知函数f(x)＝ln x－x，g(x)＝x＋eq \f(a,x)，且函数f(x)与g(x)有相同的极值点.
(1)求实数a的值；
(2)求证：f(x)＋g(x)0)，
则可得
为了满足f(x)有两个零点，则有f(x0)＝x0e x0－ax0－aln x0＋a1.
又f(1)＝e－a＋a＝e>0，
所以f(x)在(1，x0)上有且只有一个零点.
当a∈(e2，＋∞)且x→＋∞时，
易知f(x)→＋∞，
所以f(x)在(x0，＋∞)上有且只有一个零点.
综上，实数a的取值范围为(e2，＋∞).
3.解 (1)由题意，函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)，可得f′(x)＝(x－a＋1)ex，
当x∈(－∞，a－1)时，f′(x)0，
故函数f(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.
(2)g(x)＝f(x)＋ln x－x－b＝(x－2)ex＋ln x－x－b(b∈Z)，
因为g(x)≤0对任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))恒成立，
即b≥(x－2)ex＋ln x－x对任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))恒成立.
令函数h(x)＝(x－2)ex＋ln x－x，
则h′(x)＝(x－1)ex＋eq \f(1,x)－1＝(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,x)))，
因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，
所以x－10，
所以函数t(x)单调递增.
因为teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eeq \f(1,2)－20，
所以一定存在唯一的x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
使得t(x0)＝0，
即e x0＝eq \f(1,x0)，即x0＝－ln x0，
所以h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，x0))上单调递增，在(x0，1)上单调递减，
所以h(x)max＝h(x0)＝(x0－2)e x0＋ln x0－x0＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,x0)))∈(－4，－3).
因为b∈Z，所以b的最小值为－3.
二、创新拓展练
4.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－1，
由f′(x)＝0得x＝1，易知函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故函数f(x)的极大值点为x＝1，
g′(x)＝1－eq \f(a,x2)，
依题意有g′(1)＝1－a＝0，
解得a＝1，经验证符合题意，故a＝1.
(2)证明 所证不等式即为
xln x－ex0，
下证：xln x－ex0，r′(1)＝1－e0，
r(x)即h′(x)单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，r′(x)0，
故－x－1