最新高考数学三轮冲刺-考前回顾3-三角函数、三角恒等变换与解三角形-学案讲义

这是一份最新高考数学三轮冲刺-考前回顾3-三角函数、三角恒等变换与解三角形-学案讲义，共4页。试卷主要包含了终边相同角的表示，几种特殊位置的角的集合，1弧度的角，角度制与弧度制的换算，扇形的弧长和面积，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式等内容，欢迎下载使用。

1．终边相同角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．
(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．
(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．
(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．
3．1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
4．角度制与弧度制的换算
(1)1°＝eq \f(π,180) rad.
(2)1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
5．扇形的弧长和面积
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝eq \f(l,r).
相关公式：(1)l＝|α|r.
(2)S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2.
6．任意角的三角函数的定义
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α.
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs α.
③把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)．
(2)设α是一个任意角，点P(x，y)为α终边上任一点，|OP|＝eq \r(x2＋y2)，则sin α＝eq \f(y,|OP|)，cs α＝eq \f(x,|OP|)，tan α＝eq \f(y,x).
7．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1⇒sin α＝±eq \r(1－cs2α).
(2)商的关系：
eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).
8．三角函数的诱导公式
9.三种三角函数的图象和性质
10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
y＝sin xeq \(―――――――――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\d5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)
eq \(―――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍), \s\d5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)
eq \(―――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\d5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．
11．三角恒等变换
(1) cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β，
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β，
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β，
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β，
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
(2)二倍角公式：
sin 2α＝2sin αcs α，
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(3)降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2).
(4)辅助角公式：
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
12．正弦定理及其变形
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
13．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C.
推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，
a2＋c2－b2＝2accs B，
a2＋b2－c2＝2abcs C.
14．面积公式
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C.
1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．
4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))，而不是φ.
5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
正弦函数y＝sin x
余弦函数y＝cs x
正切函数y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1] (有界性)
[－1,1] (有界性)
R
零点
{x|x＝kπ，k∈Z}
{x|x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
{x|x＝kπ，k∈Z}
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间
eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)
减区间
eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称性
对称轴
x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0) (k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)