新高考数学二轮复习巩固练习14 导数解答题之函数型数列不等式问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边 SKIPIF 1 < 0 ，这样一来，相当于已知一个数列的前 SKIPIF 1 < 0 项之和，求 SKIPIF 1 < 0 ，利用数列的知识可知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .所以，接下来只需要证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ；
（7） SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0 ；
（9） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（10） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（11） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（12） SKIPIF 1 < 0 ；
（13） SKIPIF 1 < 0 .
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 零点的个数.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：对 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立？请说明理由．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？说明理由．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【过关测试】
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为正实数，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为正数， SKIPIF 1 < 0 .证明： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数a的值．
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(3)证明： SKIPIF 1 < 0 .
7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(1)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1) SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .( SKIPIF 1 < 0 )
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试比较 SKIPIF 1 < 0 与1的大小；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调性并证明你的结论；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)证明不等式： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 图象经过坐标原点，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上；又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 都成立.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求证：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 恰为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点.
①证明： SKIPIF 1 < 0 ；
②求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由泰勒级数知： SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0
17．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
（2）正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），求证： SKIPIF 1 < 0 .
18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）求证： SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）对定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数．
20．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .