初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定优秀第三课时教案及反思

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第3课时 矩形性质和判定的应用
教学目标
1.让学生进一步理解矩形的性质及判定；
2.让学生能应用矩形的性质和判定解决综合问题.
教学重难点
重点：进一步掌握矩形的性质及判定；
难点：矩形的性质及判定的应用.
教学过程
知识回顾
1.回忆矩形的定义、性质及判定；
2.回忆直角三角形的性质及判定.
新课探究
【例1】 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长.

（教师引导，学生分析）
由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，可证得△OAB是等边三角形，继而求得∠ABD的度数，进而求出∠ADE的度数.又由AD＝6，即可求得AE的长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴ OA＝OB.
∵ BE∶ED＝1∶3，∴ BE∶OB＝1∶2.
∵ AE⊥BD，
∴ AB＝OA，∴ OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形.
∴ ∠ABD＝60°，
∴ ∠ADE＝90°-∠ABD＝30°，
∴ AE＝ 12 AD＝3.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质.难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
【例2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AN是△ABC的外角平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形.
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明.
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明.

第（1）题：（教师引导，学生分析）
由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝
∠CAD.又由AN为△ABC的外角平分线，可得∠DAE＝90°.又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.
解：∵ 在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴ ∠ADC＝90°.
∵ AN为△ABC的外角平分线，
∴ ∠MAN＝∠CAN，
∴ ∠DAE＝90°.
∵ CE⊥AN，
∴ ∠AEC＝90°，
∴ 四边形ADCE为矩形.
第（2）题：（教师引导，学生分析）
利用矩形的对角线相等推知AC＝DE，结合已知条件可以推知AB＝DE，AE＝BD，则可判定四边形ABDE是平行四边形.
解：四边形ABDE是平行四边形.证明如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE＝CD，AC＝DE.
又∵ AB＝AC，BD＝CD，
∴ AB＝DE，AE＝BD，
∴ 四边形ABDE是平行四边形.
第（3）题：（教师引导，学生分析）
由四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF.又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝AB.
解：DF∥AB，DF＝AB.证明如下：
∵ 四边形ADCE为矩形，
∴ AF＝CF.
∵ BD＝CD，
∴ DF是△ABC的中位线，
∴ DF∥AB，DF＝AB.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及三角形中位线定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
【例3】如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由.
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由.


第（1）题：（教师引导，学生分析）
根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等.根据“全等三角形的对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝DC.
解：BD＝CD.理由如下：
∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DCE.
∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE.
又∵ ∠AEF＝∠DEC，
∴ △AEF≌△DEC(AAS)，∴ AF＝DC.
∵ AF＝BD，∴ BD＝DC.
第（2）题：（教师引导，学生分析）
先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形AFBD是矩形，所以∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件是AB＝AC.
解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下：
∵ AF∥BD，AF＝BD，∴ 四边形AFBD是平行四边形.
∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ ∠ADB＝90°，
∴ 四边形AFBD是矩形.
【点评】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
课堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则( )
A.S1＞S2 B.S1＝S2
C.S1＜S2 D.3S1＝2S2

2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于( )
A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.24 cm

3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝ °.

4.如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝ .

5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形.

参考答案
1.B
2.B
3.75
4.
5.证明：(1)∵ AD∥CN,∴ ∠ADM＝∠CNM,∠DAM＝∠NCM.
又∵ AM＝ CM，∴ △AMD≌△CMN，∴ AD＝CN.
又∵ AD∥CN，∴ 四边形ADCN是平行四边形，∴ CD＝AN.
（2）∵ ∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴ ∠MCD＝∠MDC，∴ MD＝MC.
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴ MD＝MN＝MA＝MC，∴ AC＝DN，∴ADCN是矩形.
课堂小结
矩形的性质与判定的应用：
1.与全等三角形的综合；
2.折叠问题.
布置作业
完成教材习题1.6
板书设计
2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形性质和判定的应用