沪科版数学九上 第23章学情评估

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第23章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.cos 45°的值等于(　　)A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2 2.在Rt△ABC中，cos A＝eq \f(1,2)，那么sin A的值是(　　)A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,2)3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为5 m，则这个坡面的坡度为(　　)A．1：2 B．1：eq \r(3) C．30° D．60°4．当45°＜∠A＜90°时，下列不等式中正确的是(　　)A．tan A＞cos A＞sin A B．cos A＞tan A＞sin AC．sin A＞tan A＞cos A D．tan A＞sin A＞cos A5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝eq \f(\r(2),2)，则对△ABC的形状描述最准确的是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D，设∠ACD＝α，则cos α的值为(　　)A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,5)(第6题)　　(第7题)7．某公路在BC路段限速60 km/h，管理部门在A处设置了一个速度监测点．假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于(　　)A．300 m B．(100 eq \r(3)＋100)m C．200 eq \r(3) m D．100(eq \r(3)＋eq \r(2))m8．已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB＝(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2 \r(5),5) D.29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为(　　)A.eq \f(3,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2 \r(5),5)(第9题)　(第10题)　 10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为(　　)A．15 B．10 eq \r(3) C．5 eq \r(6) D．20二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______．12．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的坡角β＝45°且BC＝6 m，AD的坡角α＝30°，则AD的长为________m(结果保留根号)．(第12题)13．如图，∠AOB=45°，其顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若∠AOC=37°，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) (第13题)　　(第14题)14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1 C＝1，tan∠BA2C＝eq \f(1,3)，tan∠BA3 C＝eq \f(1,7).(1)计算tan∠BA4C＝________；(2)按此规律，写出tan∠BAnC＝__________．(用含n的代数式表示) 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：eq \r(3)cos245°－sin 30°tan 60°＋eq \f(1,2)sin 60°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2 eq \r(3)，b＝6，解这个直角三角形．(第16题)四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4 m，BC＝1.26 m，从点C处看点A的仰角为70°，则楼AE的高度为多少米？(结果保留整数．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)(第17题)18．如图，在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cos B＝eq \f(1,2)，tan C＝3 eq \r(3).(第18题)(1)求∠B的度数；(2)求BC的长；(3)求△ABC的面积．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19. 某校数学综合实践社团的同学们为了测量引江济淮金寨南路桥主塔(如图①)的高OA，在地面上选取点B放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角为45°，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10 m至点C处(点O，C，B在同一水平线上)，测得主塔顶端A的仰角为47.7°，测量示意图如图②所示．已知测倾仪的高度BM＝1.5 m，求金寨南路桥主塔的高OA.(精确到1 m．参考数据： sin 47.7°≈0.74，cos 47.7°≈0.67，tan 47.7°≈1.10)(第19题) 20．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq \f(a,sin A)与eq \f(b,sin B)之间关系的方法：∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)，c＝eq \f(b,sin B).∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角三角形ABC中，探究eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)之间的关系，并说明理由．(第20题) 六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AB＝AO，求tan∠OAD的值．(第21题)七、(本题满分12分)22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度，如图，观景平台斜坡DE的长是20 m，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74 m，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3 m，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.求大楼BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92 )(第22题)八、(本题满分14分) 23.如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3 eq \r(2) km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地．(第23题)(1)求A地与电视塔P的距离；(2)求C地与电视塔P的距离．答案一、1.B　2.B　3.B　4.D　5.C　6.A　7.B　8.D9．A　解析：连接BF.∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴CE＝AE，EF是AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ACE，BF＝AF，∴∠FBA＝∠A.∵∠BCA＝90°＝∠BEF.∴∠CBF＝90°－∠BFC＝90°－(∠A＋∠ABF)＝90°－2∠A，∠CEF＝90°－∠BEC＝90°－(∠ACE＋∠A)＝90°－2∠A，∴∠CEF＝∠CBF.∵CE是AB的中线，∴S△AFB＝2S△AEF＝10，∴eq \f(1,2)AF·BC＝10.∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，∴CF＝eq \r(BF2－BC2)＝eq \r(52－42)＝3.∴sin∠CEF＝sin∠CBF＝eq \f(CF,BF)＝eq \f(3,5).10．C二、11.60°　12.6　eq \r(2)13．2.7 　解析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在Rt△BOD中，易得OD＝2 cm，∴BD＝OD·tan∠BOD＝2×tan 45°＝2×1＝2(cm)．易知CE＝BD＝2 cm，∴OE＝eq \f(CE,tan∠COE)＝eq \f(2,tan 37°)≈eq \f(2,0.75)≈2.7(cm)．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.14．(1)eq \f(1,13)　(2)eq \f(1,n2－n＋1)三、15.解：原式＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－ eq \f(1,2)×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),4).16．解：∵a＝2 eq \r(3)，b＝6，∠C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋36)＝eq \r(48)＝4 eq \r(3).∵tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(2 \r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.四、17.解：延长CD交AE于点H，则易得EH＝BC＝1.26 m.在Rt△ACH中，AC＝10.4 m，∠ACH＝70°，∴AH＝AC·sin 70°≈10.4×0.94＝9.776(m)，∴AE＝AH＋EH≈9.776＋1.26≈11(m)．答：楼AE的高度约为11 m.18．解：(1)∵∠B为锐角且cos B＝eq \f(1,2)， ∴∠B＝60°.(2)过点A作AH⊥BC于点H. ∵cos B＝eq \f(1,2)，∴eq \f(BH,AB)＝eq \f(1,2).∵AB＝6，∴BH＝3.在Rt△ABH中，AH＝eq \r(AB2－BH2)＝eq \r(62－32)＝3 eq \r(3).∵tan C＝3 eq \r(3)，∴eq \f(AH,CH)＝3 eq \r(3)，即eq \f(3 \r(3),CH)＝3 eq \r(3)，∴CH＝1，∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4.(3)S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AH＝eq \f(1,2)×4×3 eq \r(3)＝6 eq \r(3).五、19.解：如图，过点M作MF⊥OA于点F，易知M，N，F在同一水平线上．由题意易得OF＝BM＝1.5 m，MN＝10 m．设FN＝a m，在Rt△AMF中，∠AMF＝45°，∴AF＝MF＝(10＋a) m.在Rt△AFN中，tan∠ANF＝eq \f(AF,FN)，∴AF＝FN·tan∠ANF＝a·tan47.7°≈1.10a m，∴10＋a≈1.10a，解得a≈100，∴AF≈110 m，∴OA＝AF＋OF≈110＋1.5＝111.5≈112(m)．答：金寨南路桥主塔的高OA约为112 m.(第19题)20．解：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b, sin B)＝eq \f(c, sin C).理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E.在Rt△ABD中，sin B＝eq \f(AD,c) ，即AD＝csin B.在Rt△ADC中，sin C＝eq \f(AD,b)，即AD＝bsinC.∴csinB＝bsin C，即eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).同理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C).∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).(第20题)六、21.(1)证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD.又∵AE∥CD∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝CD.∴四边形ADCE是菱形．(2)解：∵四边形ADCE是菱形，∴AO＝CO，∠AOD＝90°.∵点D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝eq \f(1,2)AB.∵AB＝AO，∴OD＝eq \f(1,2)AO，∴在Rt△OAD中，tan∠OAD＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,2).七、22.解：延长AE交CD的延长线于点M，过点A作AN⊥BC于点N，则易得四边形AMCN是矩形．∴NC＝AM，AN＝MC. 在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∴EM＝DE×sin 37°≈20×0.60＝12(m)，DM＝DE×cos 37°≈20×0.80＝16(m)，∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(m)，CN＝AM＝AE＋EM≈3＋12＝15(m)．在Rt△ANB中，易知∠BAN＝42.6°，∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(m)，∴BC＝BN＋CN≈82.8＋15≈98(m)．答：大楼BC的高度约为98 m.　(第23题)八、23.解：(1)如图，过点B作BD⊥AP于点D.∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝45°.在Rt△ABD中，AD＝BD＝eq \f(\r(2),2)AB＝eq \f(\r(2),2)×3 eq \r(2)＝3(km)．∵∠PBN＝75°，∴∠APB＝∠PBN－∠PAB＝30°，∴PD＝eq \f(BD,tan 30°)＝3 eq \r(3) km，∴AP＝AD＋PD＝(3＋3 eq \r(3))km.答：A地与电视塔P的距离为(3＋3 eq \r(3))km.(2)如图，过点C作CE⊥BP于点E.∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，∴∠CBE＝60°.在Rt△PBD中，∠BPD＝30°，∴BP＝2BD＝6 km.∵BC＝6 km，∴BC＝BP，∴△BCP是等边三角形，∴PC＝BC＝6 km.答：C地与电视塔P的距离为6 km.题序12345678910答案