新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）14 平面向量中等和线的应用（2份打包，原卷版+含解析）

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一、平面向量共线定理
已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则A，B，C三点共线，反之亦然.
二、等和线
平面内一组基底 SKIPIF 1 < 0 及任一向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则 SKIPIF 1 < 0 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
当等和线恰为直线AB时，k=1；
当等和线在O点和直线AB之间时， SKIPIF 1 < 0 ；
当直线AB在点O与等和线之间时， SKIPIF 1 < 0 ；
当等和线过O点时，k=0；
若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、证明步骤
如图1， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面上一点，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理知：
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
下面根据点 SKIPIF 1 < 0 的位置分几种情况来考虑系数和 SKIPIF 1 < 0 的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若 SKIPIF 1 < 0 时，则射线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点，由 SKIPIF 1 < 0 知，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右侧时，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的相似比为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可知：存在 SKIPIF 1 < 0 使得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 左侧时，射线 SKIPIF 1 < 0 的反向延长线与 SKIPIF 1 < 0 有交点，如图1作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，由（i）的分析知：存在存在 SKIPIF 1 < 0 使得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
综合上面的讨论可知：图1中 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 线性表示时，其系数和 SKIPIF 1 < 0 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 边的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 的符号由点 SKIPIF 1 < 0 的位置确定)，因此只需求出 SKIPIF 1 < 0 的范围便知 SKIPIF 1 < 0 的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当 SKIPIF 1 < 0 时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
二、题型精讲精练
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
【典例2】如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （含边界）的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1.已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
2.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．4
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A.3 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.2
4.在 SKIPIF 1 < 0 中，点D是线段BC上任意一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数m和n，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则m+n=（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则m+n的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6.在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心且与 SKIPIF 1 < 0 相切的圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
7.已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内（不含边界），若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
二、填空题
1.如图，在同一个平面内，向量 SKIPIF 1 < 0 的模分别为1，1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则m+n=______.
2.已知P是 SKIPIF 1 < 0 内任一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则y+2x的取值范围是_____.
3.如图，正六边形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________