2025届高考数学一轮复习专练67 列联表与独立性检验（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练67 列联表与独立性检验（Word版附解析），共13页。

【基础落实练】
1.(5分)(2023·聊城模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据,计算得到χ2=6.147.依据α=0.01的独立性检验(x0.01=6.635),结论为( )
A.变量x与y不独立
B.变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.01
C.变量x与y独立
D.变量x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过0.01
【解析】选C.依据α=0.01的独立性检验,当χ2=6.147<6.635时,可以认为变量x与y独立.
2.(5分)(2023·达州模拟)四川省从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革,高考采用“3+1+2”模式,其中“1”为首选科目,即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿,对部分高一学生进行了抽样调查,制作出如下两个等高堆积条形图,根据条形图信息,下列结论正确的是( )
A.样本中选择物理学科的男生人数少于选择历史学科的女生人数
B.样本中女生选择历史学科的人数多于男生选择历史学科的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多
D.样本中男生人数少于女生人数
【解析】选C.根据等高堆积条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多,故C正确;
根据等高堆积条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数,故D错误;
样本中选择物理学科的人数多于选择历史学科的人数,而选择物理学科的男生比例高,选择历史学科的女生比例低,
所以样本中选择物理学科的男生人数多于选择历史学科的女生人数,故A错误;
样本中女生选择历史学科的人数不一定多于男生选择历史学科的人数,故B错误.
3.(5分)为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的结果,认为H0成立的可能性不足1%,那么χ2的一个可能取值为( )
附:(以下同用)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
【解析】选A.若H0成立的可能性不足1%,则χ2>6.635,由选项知:χ2=7.879.
4.(5分)(2023·滨州模拟)针对时下的“短视频热”,某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数均为5m(m∈N*),男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45,女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35.零假设为H0:喜欢短视频和性别相互独立.若依据α=0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立,则m的最小值为( )
A.7B.8C.9D.10
【解析】选C.根据题意,不妨设a=4m,b=m,c=3m,d=2m,于是χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10m·(5m2)25m·5m·7m·3m=10m21,由于依据α=0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立,可知10m21≥3.841,解得m≥8.0661,于是m的最小值为9.
5.(5分)(多选题)(2023·福州模拟)千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、暗度、颜色等的变化总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了A地区的100天日落和夜晚天气,得到2×2列联表,并计算得到χ2≈19.05,下列小波对A地区天气的判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为12
B.未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为514
C.依据α=0.005的独立性检验,认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D.依据α=0.005的独立性检验,若出现“日落云里走”,则认为夜晚一定会下雨
【解析】选ABC.对于A,根据列联表,100天中有50天下雨,50天未下雨,所以夜晚下雨的概率约为50100=12,故A正确;
对于B,未出现“日落云里走”,夜晚下雨的有25天,未出现“日落云里走”的一共25+45=70(天),所以未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为2570=514,故B正确;
对于C,由题意可知χ2≈19.05>7.879,因此依据α=0.005的独立性检验,认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关,故C正确;
对于D,由选项C知,有关只是说可能性,不代表一定下雨,故D错误.
6.(5分)(多选题)(2023·常州模拟)北京冬奥会成功举办后,大众对冰雪运动关注度不断上升,为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关,某校学生社团对市民进行了一次抽样调查,得到列联表如下:
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710,女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35,则( )
A.列联表中n的值为60,m的值为120
B.随机对一位路人进行调查,有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
C.根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们认为市民对冰雪运动的喜好和性别无关
【解析】选ACD.因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710,所以140140+n=710,解得n=60,又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35,所以m80+m=35,解得m=120,故A正确;
260400=0.65,所以随机对一位路人进行调查,有65%的可能性对方喜欢冰雪运动,故B错误;
填写列联表如下:
由表中数据,计算χ2=400×(140×80-120×60)2260×140×200×200≈4.396>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关,故C正确;因为χ2≈4.396<6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们认为市民对冰雪运动的喜好和性别无关,故D正确.
7.(5分)一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验,其实验数据如表所示:
则χ2=________(精确到小数点后三位),依据小概率值α=0.05的独立性检验,该实验________该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异(填“支持”或“不支持”).
【解析】由题表中数据可知a=29,b=7,c=33,d=5,n=a+b+c+d=74,
根据χ2=n(ad-bc)2(a+c)(c+d)(b+d)(a+b),
计算可知χ2=74×(145-231)2(29+33)×(33+5)×(7+5)×(29+7)≈0.538<3.841=x0.05,
所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关,
即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
答案:0.538 支持
8.(5分)为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高堆积条形统计图,则下列说法中正确的有________(填序号).
①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
③若被调查的男女生均为100人,则可以认为喜欢登山和性别有关
④无论被调查的男女生人数为多少,都可以认为喜欢登山和性别有关
【解析】因为被调查的男女生人数相同,由题中等高堆积条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以①正确,②错误;
设被调查的男女生人数均为n,则由等高堆积条形统计图可得列联表如下:
由公式可得:χ2=2n×(0.8n×0.7n-0.3n×0.2n)21.1n×0.9n×n×n=50n99.
当n=100时,χ2=50n99=50×10099>50,可以判断喜欢登山和性别有关,故③正确;
而χ2=50n99,所以χ2的值与n的取值有关.故④错误.
答案:①③
9.(10分)某学校开展消防安全教育活动,邀请消防队进校园给师生进行培训,培训结束后抽取了部分学生进行消防安全知识测试(满分100分),所得分数统计如表①所示,并按照学生性别进行分类,所得数据如表②所示.
表①
表②
(1)估计这次测试学生得分的均值;(每组数据以所在区间的中点值为代表)
(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异?
【解析】(1)依题意,估计均值为55×501 000+65×1001 000+75×2001 000+85×4001 000+95×2501 000=82.
(2)依题意,4a+b=650a+b=350,解得a=100b=250,
可得2×2列联表:
则χ2=1 000×(400×250-250×100)2500×500×650×350≈98.901>10.828,
故依据α=0.001的独立性检验,能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.
【能力提升练】
10.(5分)下列关于独立性检验的说法正确的是( )
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中,若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,则我们可以说在100个吸烟的人中,有99人患肺病
D.对于独立性检验,随机变量χ2的值越小,判定“两个变量有关系”犯错误的概率越大
【解析】选D.对于A,独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法,并非检验二者是否为线性相关,故错误;
对于B,独立性检验并不能100%确定两个变量相关,故错误;
对于C,99%是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性,并非抽烟人中患肺病的发病率,故错误;
对于D,根据卡方计算的定义可知该选项正确.
11.(5分)如图是调查某学校高一年级男、女生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图,阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级有男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查),现从所有喜欢徒步的学生中按比例分配的分层随机抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为________.
【解析】根据题中等高堆积条形图可知,喜欢徒步的男生人数为0.6×500=300,喜欢徒步的女生人数为0.4×400=160,所以喜欢徒步的总人数为300+160=460,按比例分配的分层随机抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为300460×23=15.
答案:15
12.(10分)(2023·河南联考)清明节,又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等,是传统的重大春祭节日,扫墓祭祀、缅怀祖先,是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计,随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的2×2列联表:
(1)根据统计完成以上2×2列联表,并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率;
(2)若依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为是否回老家祭祖与年龄有关?
【解析】(1)补全表格如下:
该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为1540=38;
(2)因为χ2=100×(5×25-15×55)220×80×60×40=1 22596≈12.760>10.828,
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否回老家祭祖与年龄有关.
13.(10分)体育运动是强身健体的重要途径,《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020-2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求.随着“体育健康促进行动方案”的发布,体育运动受到各地中小学的高度重视,众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况,现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1 000名学生,调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况,得到如表数据:
约定:平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”,数学成绩排在年级前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”.
(1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的第65百分位数;
(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)请根据已知数据完成下面列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析“数学成绩达标”是否与“运动达标”相关.
【解析】(1)每组的频率依次为0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050,
因为0.025+0.125+0.350=0.500<0.65,0.025+0.125+0.350+0.300=0.800>0.65,且0.500+0.8002=0.65,
所以高三年级本次月考数学成绩的第65百分位数位于[90,110)内,且为[90,110)的中点100,
故该中学高三年级本次月考数学成绩的第65百分位数为100.
(2)该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分
x=0.025×40+0.125×60+0.350×80+0.300×100+0.150×120+0.050×140=91.50,
估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分为91.50分.
(3)列联表如表所示:
零假设为H0:“数学成绩达标”与“运动达标”无关,χ2=1 000×(350×300-200×150)2550×450×500×500=1 00011≈90.9>10.828=x0.001,所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关.
【素养创新练】
14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看,
(1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________;
(2)在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是________.
【解析】(1)由题图分析,甲的语文成绩名次比其总成绩名次靠后,乙的语文成绩名次比其总成绩名次靠前,故填乙.
(2)根据丙在两个图中对应的点的纵坐标,观察易得,丙同学成绩名次更靠前的科目是数学.
答案:(1)乙 (2)数学α
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
日落云里走
夜晚天气(单位:天)
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
冰雪运动的喜好
性别
合计
男性
女性
喜欢
140
m
140+m
不喜欢
n
80
80+n
合计
140+n
80+m
220+m+n
冰雪运动的喜好
性别
合计
男性
女性
喜欢
140
120
260
不喜欢
60
80
140
合计
200
200
400
项目
注意力稳定
注意力不稳定
男生
29
7
女生
33
5
对登山的喜好
性别
合计
男
女
喜欢
0.8n
0.3n
1.1n
不喜欢
0.2n
0.7n
0.9n
合计
n
n
2n
得分
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
50
100
200
400
250
项目
男生
女生
得分不低于80分
4a
b
得分低于80分
a
b
得分情况
性别
合计
男生
女生
得分不低于80分
400
250
650
得分低于80分
100
250
350
合计
500
500
1 000
年龄
是否回老家情况
合计
回老家
不回老家
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
40
合计
100
年龄
是否回老家情况
合计
回老家
不回老家
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
合计
20
80
100
运动
数学成绩
合计
达标人数
不达标人数
达标人数
不达标人数
合计
运动
数学成绩
合计
达标人数
不达标人数
达标人数
350
200
550
不达标人数
150
300
450
合计
500
500
1 000