资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：2025年高考数学一轮总复习（新高考考点与真题训练）
成套系列资料，整套一键下载
第29讲 解三角形应用举例及综合问题--2025高考一轮单元综合复习与测试卷学案
展开
这是一份第29讲 解三角形应用举例及综合问题--2025高考一轮单元综合复习与测试卷学案，文件包含第29讲解三角形应用举例及综合问题原卷版docx、第29讲解三角形应用举例及综合问题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共25页， 欢迎下载使用。
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
考点1 解三角形应用举例
[名师点睛]
1.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
2.高度问题的类型及解法
（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
3.角度问题的类型及解法
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[典例]
1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346 B.373 C.446 D.473
3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.
[举一反三]
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20mB．10mC．mD．m
3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．
考点2 求解平面几何问题
[名师点睛]
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[典例]
1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝eq \f(3,2)，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cs∠BDC.
2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.
(1)证明：，；
(2)若，，求的最小值.
[举一反三]
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.
3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.
考点3 三角函数与解三角形的交汇问题
[名师点睛]
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
[典例]
（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
[举一反三]
1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．
2.（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
考点1 解三角形应用举例
[名师点睛]
1.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
2.高度问题的类型及解法
（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
3.角度问题的类型及解法
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[典例]
1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346 B.373 C.446 D.473
3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.
[举一反三]
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20mB．10mC．mD．m
3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．
考点2 求解平面几何问题
[名师点睛]
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[典例]
1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝eq \f(3,2)，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cs∠BDC.
2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.
(1)证明：，；
(2)若，，求的最小值.
[举一反三]
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.
3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.
考点3 三角函数与解三角形的交汇问题
[名师点睛]
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
[典例]
（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
[举一反三]
1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示．
(1)求的解析式；
(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．
2.（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．
相关学案
新高考数学一轮复习学案第5章第7讲 解三角形应用举例及综合问题（含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习学案第5章第7讲 解三角形应用举例及综合问题（含解析），共19页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
第21讲 利用导数探究函数的零点问题学案--2025高考一轮单元综合复习与测试卷： 这是一份第21讲 利用导数探究函数的零点问题学案--2025高考一轮单元综合复习与测试卷，文件包含第21讲利用导数探究函数的零点问题原卷版docx、第21讲利用导数探究函数的零点问题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共15页， 欢迎下载使用。
第20讲 利用导数研究不等式的恒成立问题学案--2025高考一轮单元综合复习与测试卷用）： 这是一份第20讲 利用导数研究不等式的恒成立问题学案--2025高考一轮单元综合复习与测试卷用），文件包含第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题原卷版docx、第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共11页， 欢迎下载使用。
