2023-2024学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等.下列龙的图标中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算，其中正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)6=ab6
C. (−a3)2=a6D. 3x3y2−xy2=2x2
3.若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为( )
A. 18B. 22C. 24D. 18或24
4.下列说法中，正确的是( )
A. “三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是必然事件
B. 天气预报显示“明天的降水概率为60%”，表示明天有60%的时间都在降雨
C. 进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是35，正面朝下的概率是25
D. “两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件
5.我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(℃)的关系如表，下列选项描述不正确的是( )
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C. 当温度为350℃时，该材料导热率为0.35W/m⋅K
D. 温度每升高增高10℃该材料导热率增加0.01W/m⋅K
6.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB//EF，添加一个条件后，仍无法判定△ABC≌△FED的是( )
A. AB=EF
B. ∠B=∠E
C. BC=DE
D. BC//DE
7.“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为( )
A. 18
B. 17
C. 16
D. 27
8.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P在线段ED上，则△PBF周长的最小值为( )
A. 6
B. 10
C. 12
D. 14
9.如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置O处，AO与地面垂直，当她荡到距地面1m高的B处时，与AO的水平距离BE为1.2m，当她荡到与AO的水平距离为1.4m的C处，∠BAC=90∘，此时小丽距离地面的高度是( )
A. 1.2m
B. 1.4m
C. 1.6m
D. 1.8m
10.如图，在△ABC中，AB=AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC=42∘，则∠AGE的度数为( )
A. 68∘
B. 69∘
C. 72∘
D. 74∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为______.
12.现有3cm、5cm、8cm、10cm四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是______.
13.若4x−y−3=0，则16x÷2y=______.
14.一副三角板如图摆放，直线AB//CD，则∠α的度数是______.
15.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90∘，AC，BD相交于点E，AE=DE.将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED′=30∘，则∠BCD′的大小为______.
16.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=4BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为4，则△ABC的面积为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，已知△ABC.
求作：线段CD，使得CD//AB，且点D到BA与BC的距离相等.
18.(本小题16分)
(1)计算：(12)−3−20240；
(2)计算：(x−1)(4−x)−5x(x−3)；
(3)运用乘法公式计算：1232−122×124；
(4)先化简，再求值：[(2x+y)2−(2x−y)(2x+y)]÷2y，其中x=2，y=−1.
19.(本小题6分)
如图，△ABC的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1.
(1)在图中画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1；(点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1)
(2)求△ABC的面积；
(3)在直线MN上有一点P，使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置.
20.(本小题6分)
阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据.
已知：如图，ED平分∠CEB，∠CEB=80∘，∠1=140∘，求∠3的度数.
解：∵∠1+∠2=180∘，∠1=140∘，
∴∠2=180∘−∠1=40∘.
∵ED平分∠CEB，∠CEB=80∘，
∴∠DEB=______=40∘(______)，
∴∠DEB=∠2，
∴AB//CD，(______)，
∴∠______+∠CEB=180∘(______)，
∴∠DCE=180∘−∠CEB=100∘，
∴∠3=∠DCE=100∘(______).
21.(本小题6分)
某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据：
(1)完成上述表格，其中a=______，b=______；
(2)请估计当n很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=AB，F为BC边上一点，过点C作CE//AB，且CE=BF，连接EF交BC于点D，连接AD.
(1)判断AD与CB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCE=70∘，求∠CAD的度数.
23.(本小题6分)
A、B两地相距600km，甲乙两人都从A地前往B地，匀速行驶.其中甲骑摩托车出发1.5小时后，乙开车出发，沿同一路线行驶，各自到达终点后停止.甲、乙两人之间的距离s(km)与甲行驶的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)两人经过______小时相遇；
(2)甲、乙两人的速度分别是______km/h和______km/h；
(3)a的值为______；
(4)甲乙两人均在运动过程中，甲出发多少时间时，两人相距40千米？
24.(本小题10分)
“数形结合”是数学中的一种重要的数学思思方法.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性.
(1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______.
(2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系：______.
(3)根据(2)中的结论进行计算，已知：x−y=4，xy=654，求x+y的值.
(4)如图3，正方形ABCD与正方形FHJL的重合部分长方形EFGD的面积是2024，AE=32，CG=34，四边形DGHI和四边形EDKL都是正方形，求正方形FHJL的面积.
25.(本小题10分)
【基础探究1】如图1，△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC与∠A之间的数量关系；
【基础探究2】如图2，△ABC中，BP1、BP2是∠ABC的三等分线.CP1、CP2是∠ACB的三等分线，则∠BP1C与∠A之间的数量关系是______；
【基础探究3】如图3，△ABC中，BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分线，CP1、CP2、CP3是∠ACB的四等分线，则∠BP3C与∠A之间的数量关系是______；
【拓展与探究】如图4，△ABC中，BP1、BP2、…BPn−2、BPn−1是∠ABC的n等分线，CP1、CP2、…、CPn−2、CPn−1是∠ACB的n等分线，请用一个等式表示∠BP1C、∠BPn−1C、∠A三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】△ABC中，BP1、BP2、…、BP2023是∠ABC的2024等分线，CP1、CP2、…、CP2023是∠ACB的2024等分线，若∠BP2C与∠BP2022C的和是∠A的7倍，则∠BP1012C=______ ∘.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关内容是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.x3⋅x2=x5，故该项错误；
B. (ab)6=a6b6，故该项错误；
C. (−a3)2=a6，故该项正确；
D.3x3y2、xy2不是同类项，不能合并，故该项错误；
故选：C.
根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查了整式的计算法则，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握各计算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一个等腰三角形的两边长分别为4和10，
∴当4为腰时，三边长分别为4，4，10，
∵4+4=80，
∴x+y= 81=9；
(4)设长方形EFGD的长DE=m，宽DG=n，则m+32=n+34，即m−n=2，
由于长方形EFGD的面积是2024，即mn=2024，
∵四边形DGHI和四边形EDKL都是正方形，
∴正方形FHJL的边长为m+n，
∴正方形FHJL的面积S=(m+n)2
=(m−n)2+4mn
=4+4×2024
=8100.
(1)根据图1中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
(2)用代数式图2中各个部分面积，由各个部分面积之间的关系即可得出答案；
(3)利用(2)的结论，代入计算即可；
(4)设长方形EFGD的长DE=m，宽DG=n，由题意可知m−n=2，mn=2024，由(m+n)2=(m−n)2+4mn进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
25.【答案】∠BP1C=60∘+23∠A∠BP3C=135∘+14∠A∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘105∘
【解析】解：【基础探究1】：设α=12∠ABC，β=12∠ACB.
根据三角形内角和定理得，α+β=180∘−∠BPC，2(α+β)=180∘−∠A，
∴180∘−∠A=2(180∘−∠BPC).
∴∠BPC=12×180∘+∠A2=90∘+∠A2.
则∠BPC与∠A之间的数量关系为：∠BPC=90∘+∠A2.
【基础探究2】：设α=13∠ABC，β=13∠ACB.
在△BP1C和△ABC中，根据三角形内角和定理得，
2(α+β)=180∘−∠BP1C，3(α+β)=180∘−∠A.
∴3(180∘−∠BP1C)=2(180∘−∠A)
∴∠BP1C=13×180∘+23∠A=60∘+23∠A.
故答案为：∠BP1C=60∘+23∠A.
【基础探究3】：设α=14∠ABC，β=14∠ACB.
在△ABC和△BP3C中，同理可得，4(α+β)=180∘−∠A，α+β=180∘−∠BP3C，
∴4×(180∘−∠BP3C)=180∘−∠A.
∴∠BP3C=34×180∘+14∠A=135∘+14∠A.
故答案为：∠BP3C=135∘+14∠A.
【拓展与探究】：设α=1n∠ABC，β=1n∠ACB.
在△BPn−1C，△BP1C和△ABC中，同理可得，
α+β=180∘−∠BPn−1C，(n−1)(α+β)=180∘−∠BP1C，n(α+β)=180∘−∠A.
∴(180∘−∠BPn−1C)+(180∘−∠BP1C)=180∘−∠A.
∴∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘.
故答案为：∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘.
【探究与应用】：当α=12024∠ABC，β=12024∠ACB时，
在△BP2022C，△BP2C和△ABC中，同理可得，
2(α+β)=180∘−∠BP2022C，2022(α+β)=180∘−∠BP2C，2024(α+β)=180∘−∠A，
根据题意得，∠BP2022C+∠BP2C=[180∘−2(α+β)]+[180∘−2022(α+β)]=7∠A，
即，360∘−2024(α+β)=7∠A.
把2024(α+β)=180∘−∠A代入上式得，360∘−(180∘−∠A)=7∠A，
∴∠A=30∘.
把∠A=30∘代入2024(α+β)=180∘−∠A，则α+β=12024×150∘.
在△BP1012C中，同理可得，1012(α+β)=180∘−∠BP1012C，
∴∠BP1012C=180∘−1012×(12024×150∘)=105∘.
故答案为：105∘.
【基础探究1】：设α=12∠ABC，β=12∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BPC和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【基础探究2】：设α=13∠ABC，β=13∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP1C和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【基础探究3】：设α=14∠ABC，β=14∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP3C和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【拓展与探究】：设α=1n∠ABC，β=1n∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP1C，∠BPn−1C和∠A关于α、β的表达式，比较便可得出结论．
【探究与应用】：设α=12024∠ABC，β=12024∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP2C，∠BP2022C，∠A和∠BP1012C关于α、β的表达式，根据∠BP2C与∠BP2022C的和是∠A的7倍，通过等量代换便可求出答案．
本题为三角形内角和定理的综合应用题，难度较大．通过设出中间变量(α+β)表示各个所求角是解答本题的关键．温度T(℃)
100
150
200
250
导热率K(W/m⋅K)
0.15
0.2
0.25
0.3
转动转盘的次数n
50
100
200
400
800
1000
落在“牛奶”区域的次数m
30
61
119
242
b
603
落在“牛奶”区域的频率mn
0.6
0.61
0.59
a
0.59
0.603