河北省衡水市深州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省衡水市深州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足(i是虚数单位）,则( )
A.B.C.D.
2．设,若,则( )
A.1B.-2C.3D.-1
3．已知数列是等比数列,且,,则( )
A.3B.6C.3或－3D.6或－6
4．双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
5．已知直线与圆相交于A,B两点,且,则实数( )
A.B.C.或D.或
6．在数列中,,,则的前2024项和为( )
A.589B.590C.D.
7．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知F是椭圆的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若,且,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为等差数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.为递减数列C. D.
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数存在极小值
B.
C.当时,
D.若函数有且仅有两个零点,则且
11．已知抛物线,点F是抛物线C的焦点,点P是抛物线C上的一点,点,则下列说法正确的是( )
A.抛物线C的准线方程为
B.若,则的面积为
C.的最大值为
D.的周长的最小值为
12．如图,在棱长为2的正方体中,点E是棱的中点,点P是底面上的一点,且平面,则下列说法正确的是( )
A.B.存在点P,使得
C.的最小值为D.的最大值为6
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为___________.
14．若动点到点的距离和动点M到直线的距离相等,则点M的轨迹方程是_________.
15．若数列满足,,,则的通项公式是_____________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为,,M为C上任意一点,N为圆上任意一点,则的最小值为____________.
四、解答题
17．已知等差数列的其前n项和为,,.
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
18．已知圆的圆心F是抛物线C的焦点.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若直线l交抛物线C于A,B两点,且点是弦的中点,求直线l的方程.
19．在数列中,,且
（1）若,证明：数列是等比数列;
（2）求数列的前项和.
20．如图,在三棱柱中,,,,且,为锐角.
（1）证明：;
（2）若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
22．已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线与椭圆C交于A,B两点,点P是y轴上的一点,过点A作直线的垂线,垂足为M,是否存在定点P,使得为定值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：设,所以,
所以,所以.
故选A.
2．答案：A
解析：,
解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：设数列的公比为,则,所以,,所以.故选B.
4．答案：B
解析：渐近线方程为.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,所以点C到直线的距离为,
所以,解得或.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为,
所以,,,而,
所以数列是以4为周期的周期数列,
所以的前2024项和.
故选：C.
7．答案：A
解析：如图，底面，底面为正方形，
、、所在直线两两垂直，
以A为坐标原点，分别以、、所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
异面直线与所成角的正弦值为
故选：A.
8．答案：C
解析:设椭圆右焦点为,连接,,
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形,则,
因为,可得,所以,
则,,
由余弦定理可得,
即,即
故椭圆离心率
故选:C.
9．答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d,因为,,
所以,解得,
所以,故A正确;
因为,所以为递增数列,故B错误;
由,,有,故C正确;
,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：,当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,故函数在处取得极小值,也是最小值,没有极大值,A正确;
当时,函数单调递增,且,所以,B错误：
当时,,易知C正确;
由得,若函数有两个零点,只需且,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：抛物线C的准线方程为,故A正确;
设,所以,所以,所以,解得,
当时,的面积为,当时,的面积为,故B错误;
,当且仅当点P在的延长线与抛物线C的交点处时,故C正确;
过点P作C的准线的垂线,垂足为,
所以的周长,所以,
当且仅当与的准线垂直时,取得最小值,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：ACD
解析：以D为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,,,
所以,,,所以,
所以平面,又平面,所以.故A正确;
设,所以,
所以,即.
所以,
,,
解得,又,故B错误;
,
所以,故C正确;
,,
所以,,所以.故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：因为,所以,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
14．答案：
解析：动点到点的距离与它到直线的距离相等,
由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,该抛物线以为焦点,以为准线,
开口向右,所以抛物线方程为.
15．答案：
解析：因为,
所以,,,,
所以
,
又也满足上式,所以.
16．答案：
解析：由题意知,,且,,
当且仅当M,N,E共线时取等号,
所以,
当且仅当M,N,E,共线时取等号,
而,
故的最小值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,因为,,
所以
解得所以;
（2）由（1）知,
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆的方程可化为,故圆心的坐标为,
设抛物线C的方程为,所以,所以,所以抛物线C的方程为.
（2）设,,则两式相减,
得,即,
因为点是的中点,所以,所以.
所以直线l的方程为,即.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：,
因为,所以是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）可知,所以,
所以
.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接,如图所示.
因为,所以四边形是菱形,所以,又,,,平面,
所以平面,又平面,所以,又,所以.
在中,,,所以,
所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以;
（2）因为,,所以二面角的大小为,即.
以A为坐标原点,,所在的直线分别为x轴,y轴,垂直于,所在的直线为z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.所以,,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,所以
令,解得,所以平面的一个法向量为,
又,设直线与平面所成角为,
所以,\
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，
①-②得，，，
，
符合此式，
.
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，记，故，
所以当时，，，所以，即，
当时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，所以，即.
22．答案：（1）
（2）存在点,使得为定值
解析：（1）由题意知
解得,,所以椭圆C的方程是;
（2）设,,,
由得,
所以,,
所以
,
所以,解得.
所以存在点,使得为定值.