2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U=−2,−1,0,1,2，M=−2,2，N=x−1≤x≤1,x∈N，则∁UM∩N=( )
A. −1,0,1B. −1,1C. 0,1D. 0,1
2.命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定是( )
A. ∀x>0,x2+x−1>0B. ∀x>0,x2+x−1≤0
C. ∃x≤0,x2+x−1>0D. ∃x≤0,x2+x−1≤0
3.曲线fx=xlnx在x=1处的切线方程为( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
4.若实数a，b满足1a+2b= ab，则ab的最小值为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
5.函数fx=x2−8ex的极小值点为( )
A. 2B. −4e2C. −4D. 8e−4
6.今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有( )
A. 48种B. 84种C. 24种D. 12种
7.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6
B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为−0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D. 在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PAB=PAPBAPB.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为( )
A. 4951000B. 9951000C. 1011D. 2122
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x−1x)4的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数最大项为第五项B. 各项系数和为0
C. 含x4项的系数为4D. 所有项二项式系数和为16
10.若随机变量X∼B10,23，下列说法中正确的是( )
A. PX=3=C103133237B. 期望EX=203
C. 期望E3X+2=22D. 方差D3X+2=20
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，定义X的信息熵H(X)=−i=1npilg2pi.( )
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大
C. 若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j(j=1,2,⋯,m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若EX=53，则P3−P1= ．
13.已知随机变量X∼N2,σ2,P(1≤Xlnn+1．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.BD
10.BCD
11.AC
12.−13

14.n+34
15.解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=2ax−bx，
f(1)=a=1，f′(1)=2a−b=0①，
将a=1代入2a−b=0，解得：b=2；
(2)由(1)得：f(x)=x2−2lnx，
∴f′(x)=2x−2x=2x2−2x，
令f′(x)>0，解得：x>1，
令f′(x)0，gln3=3−3ln325−15=17>0，
所以gx在ln3,+∞上有唯一一个零点，
综上所述，函数fx有两个不动点．
(3)由(1)知，ex−2x−e−x>0,x∈0,+∞，
令x=lns,s>1，则s−2lns−s−1>0，即s−1s>2lns,s>1，
设s= 1+1n,n∈N∗，则满足s>1，
所以 1+1n−1 1+1n>2ln 1+1n，即1n 1+1n>ln1+1n，
所以1 n2+n>lnn+1n=lnn+1−lnn，
所以1 12+1+1 22+2+⋯+1 n2+n>ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n+1)−lnn=lnn+1，即1 12+1+1 22+2+⋯+1 n2+n>lnn+1．
X
1
2
3
P
P1
P2
P3
X
0
1
2
P
1219
3295
395
x
0,ln3
ln3
ln3,+∞
g′x
−
0
+
gx
单调递减
3−3ln3
单调递增