2022-2023学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．±2
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．＝2B．
C．＝2D．
3．（3分）在一次校园歌曲演唱比赛中，小红对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
4．（3分）将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
5．（3分）下列命题是真命题的有（ ）
①当n取正整数时，n2+3n+1的值是质数；
②a2＝b2，则a＝b；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④以8，15，19为边长的三角形是直角三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（3分）在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m≥nD．m≤n
7．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（ ）
A．48B．60C．36D．72
9．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
10．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图是国庆阅兵时，战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，﹣35），则飞机D的坐标为 ．
13．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象向上平移2个单位长度的表达式是 ．
14．（3分）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 ．
三、解答题（本大题有7题，其中16题12分，17题6分，18题7分，19题6分，20题8分，21题8分，22题8分，共55分）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）﹣；
（3）+|﹣1|．
17．（6分）解方程组
18．（7分）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分，甲得 分，乙得 分，丙得 分；
（2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
19．（6分）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，AB＝BC＝6cm，CD＝10cm；
（1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
（2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
20．（8分）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2＝x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2＝x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长；
（3）直线y＝kx﹣k经过定点（1，0），当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是 ．
22．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B＝90°，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B′C，直接写出△PCB′周长的最小值．
2022-2023学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.)
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．±2
【答案】D
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．＝2B．
C．＝2D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式的性质，平方差公式进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．＝2，故本选项不符合题意；
B．（）（）＝3﹣2＝1，故本选项不符合题意；
C．＝2，故本选项不符合题意；
D．＝2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，立方根和平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的性质和平方差公式进行计算是解此题的关键．
3．（3分）在一次校园歌曲演唱比赛中，小红对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【答案】A
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．
4．（3分）将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠DAE＝45°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，∠FAD＝45﹣30＝15°，
在△ADF中根据三角形内角和定理得到：∠AFD＝180﹣90﹣15＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
5．（3分）下列命题是真命题的有（ ）
①当n取正整数时，n2+3n+1的值是质数；
②a2＝b2，则a＝b；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④以8，15，19为边长的三角形是直角三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据质数概念，平方根概念，对顶角性质，勾股定理逆定理，分别判断每项的真假即可．
【解答】解：当n＝6时，n2+3n+1＝55，55不是质数，故①是假命题；
当a＝2，b＝﹣2时，a2＝b2，但2≠﹣2，故②是假命题；
由对顶角相等知，如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，故③是真命题；
∵82+152＝289，192＝361，
∴82+152≠192，
∴以8，15，19为边长的三角形不是直角三角形，故④是假命题；
∴真命题有③，共1个，
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
6．（3分）在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m≥nD．m≤n
【答案】A
【分析】根据k＜0可知函数值y随着x增大而减小，再根＞即可比较m和n的大小．
【解答】解：点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b上的两点，且k＜0，
∴函数值y随着x增大而减小，
∵＞，
∴m＜n，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
7．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
8．（3分）如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（ ）
A．48B．60C．36D．72
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理求出BC的长，再根据等腰三角形三线合一定理求出BD的长，再由勾股定理求出AD的长，最后根据四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△BPC中，由勾股定理得，
BC＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝12，
∴S＝60，
∵S＝24，
∴四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），
∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；
∵甲40分钟走了3.2千米，
∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；
∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．
10．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∠BDC＝∠BAC，故③正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，故④正确．
综上所述，正确的有3个．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+3≥0，
解得，x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）如图是国庆阅兵时，战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，﹣35），则飞机D的坐标为 （﹣40，﹣35） ．
【答案】（﹣40，﹣35）．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵飞机E（40，﹣35）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，﹣35），
故答案为：（﹣40，﹣35）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
13．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象向上平移2个单位长度的表达式是 y＝3x﹣1 ．
【答案】y＝3x﹣1．
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），进而根据待定系数法即可求得．
【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），
∴，
解得，
∴此函数表达式是y＝3x﹣3，
∵函数图象向上平移2个单位长度的表达式是y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14．（3分）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】．
【分析】设x﹣1＝m，y+1＝n，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可．
【解答】解：设x﹣1＝m，y+1＝n，则方程组可化为，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴解得：，
即，
所以，
故答案为：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 或﹣4 ．
【答案】或﹣4．
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），
∴中点G（，），
∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，
∴，
解得：，，
∴2a+b＝或﹣4；
故答案为：或﹣4．
【点评】此题考查坐标与图形性质，中点坐标公式，关键是根据线段的中点坐标公式解答．
三、解答题（本大题有7题，其中16题12分，17题6分，18题7分，19题6分，20题8分，21题8分，22题8分，共55分）
16．（12分）计算：
（1）；
（2）﹣；
（3）+|﹣1|．
【答案】（1）；（2）1；（3）2．
【分析】（1）首先计算开平方，然后计算减法，求出算式的值即可．
（2）首先计算开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
（3）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣
＝．
（2）﹣
＝3﹣
＝3﹣2
＝1．
（3）+|﹣1|
＝4+1﹣4+1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
17．（6分）解方程组
【答案】见试题解答内容
【分析】先将方程①化简，再利用加减法解答．
【解答】解：方程①化简为2x﹣5y＝﹣17③，（1分）
将③和②组成方程组得，
，
②×5+③，
解出x＝﹣1，（1分）
将x＝﹣1代入②得，
解出y＝3，（1分）
方程组的解为．（1分）
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
18．（7分）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分，甲得 50 分，乙得 80 分，丙得 70 分；
（2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
【答案】（1）50，80，70；
（2）丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．
【分析】（1）将总人数乘以各自的比例可得答案；
（2）根据图表给出的数据和加权平均数的计算公式列算式，求出三人的得分，然后判断录用的候选人即可．
【解答】解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：200×25%＝50（分），200×40%＝80（分），200×35%＝70（分）．
故答案为：50，80，70；
（2）甲：（分），
乙：（分），
丙：（分），
因为：77.4＞77＞72.9，
丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，熟记运算方法是解题的关键．
19．（6分）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，AB＝BC＝6cm，CD＝10cm；
（1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
（2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
【答案】（1）蚂蚁按图2方法走最短，最短路程是2cm；
（2）筷子的最大长度是2cm．
【分析】（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体中的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果；
（2）将筷子斜着放，利用勾股定理即可求出筷子的最大长度．
【解答】解：如图1所示：
由题意得：AB＝BC＝6cm，CD＝10cm，
∴AC＝AB+BC＝12cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝2（cm）；
∴蚂蚁按图2方法走最短，最短路程是2cm；
（2）将筷子斜着放，
∵CD＝10cm，AB＝BC＝6cm，
∴AC＝6
∴AD＝＝2（cm），
即筷子的最大长度是2cm．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确“两点之间线段最短”这一知识点，然后把立体长方体放到一个平面内，求出最短的路线．
20．（8分）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
【答案】（1）该商场第1次购进A商品200件，B商品150件；（2）B种商品是打9折销售的．
【分析】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于54000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，
依题意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品是打9折销售的．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2＝x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2＝x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长；
（3）直线y＝kx﹣k经过定点（1，0），当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是 1或2 ．
【答案】（1）B的坐标为（3，4）；（2）DE＝8；（3）k═1或2．
【分析】（1）联立可直接得点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
（3）理解两函数有交点，即函数值相等来求解．
【解答】解：（1）令﹣2x+10＝x+2，解得x＝3，
∴y＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
（2）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），
∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴m+2＝3（2m﹣10），
解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
（3）y1与x轴的交点A（5，0），由直线与线段有交点可得：3k﹣k≤4 ①5k﹣k≥0 ②联立①②解得：0≤k≤2，∵k是正整数，∴k═1或2．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
22．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B＝90°，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B′C，直接写出△PCB′周长的最小值．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①；
②12．
【分析】（1）根据矩形的性质得AB∥CD，可得∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，利用AAS即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠FAP＝∠APF，等角对等边即可得FA＝FP，设FA＝x，则FP＝x，FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x＝，即AF＝；
②可得△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10，则CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，即可得△PCB'周长的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP，
∴△ABP≌△ECP（AAS）；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠FAP，
由折叠得∠APB＝∠APF，
∴∠FAP＝∠APF，
∴FA＝FP，
矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝CP＝4，
由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，
设FA＝x，则FP＝x，
∴FB′＝x﹣4，
在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，
∴x2＝（x﹣4）2+62，
解得x＝，
即AF＝；
②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB，
∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，
连接B'C，AC，
∵AB′+B′C＞AC，
∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，
∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/21 14:42:07；用户：初中数学；邮箱：zqxdwh@xyh.cm；学号：37246586

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序平均数
众数
中位数
方差
9.15
9.2
9.1
0.2
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
价格
商品
进价（元/件）
售价（元/件）
A
1200
1350
B
1000
1200
平均数
众数
中位数
方差
9.15
9.2
9.1
0.2
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
价格
商品
进价（元/件）
售价（元/件）
A
1200
1350
B
1000
1200