第30练 数列求和（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
4．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
5．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
7．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【综合训练】
一、解答题
1．已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和.
2．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
3．在等差数列中，
(1)求的通项公式；
(2)若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和.
4．在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式和前n项和；
(2)设，求数列的前n项和公式．
5．设正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
6．已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
7．记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
8．已知递增数列满足．
(1)求；
(2)设数列满足，求的前项和．
9．已知在公差不为零的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前n项和为，满足
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
10．数列满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前项和为.
11．设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
12．已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项的和．
13．设数列满足
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求的值.
14．从①；②；③三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列，满足，且，，______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
16．设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
19．已知数列为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求证:.
20．已知是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)将，的项从小到大排序，组成一个新的数列，记的前项和为，若，求的值，并求出．
21．已知数列满足，.
(1)记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求的前2n项和.
22．已知数列的首项.
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：.
23．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
24．已知数列满足，数列为等比数列且公比，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，若，记数列满足求数列的前项和.
25．已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
26．已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
27．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：.
28．已知函数，对任意，都有．
(1)求的值．
(2)数列满足：，求数列前项和．
(3)若，证明：
29．已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式，若，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
30．函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
31．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的，都有．
（）写出数列的前项．
（）求数列的通项公式（写出推证过程）．
（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数的值．
32．设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.