2024年山东省枣庄市市中区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2024年山东省枣庄市市中区中考数学一模试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，最大的数是( )
A. −1B. 0C. 2D. π
2.某商场的休息椅如图所示，它的左视图是( )
A. B.
C. D.
3.2023年11月4日，我国首艘国产大型邮轮“爱达⋅魔都号”正式命名交付.这标志着我国从此实现了国产大型邮轮制造“零的突破”.全船搭载107个系统、5.5万个设备，包含2500万个零部件，2500万用科学记数法可以表示为( )
A. 2.5×104B. 2.5×107C. 0.25×108D. 25×106
4.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C.若C，B两点表示的数互为相反数，则图中点A表示的数是( )
A. 2B. 1C. −2D. −4
6.下列运算正确的是( )
A. a4⋅a3=a12B. (−a4)3=a7
C. (a+b)(a−b)=b2−a2D. −4a5b3÷2a3b=−2a2b2
7.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB=24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则∠E为( )
A. 23°
B. 34°
C. 42°
D. 48°
8.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED/​/BC交AB于点D，若AB=5，AE=3，则△ADE的周长为( )
A. 8
B. 11
C. 10
D. 13
9.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/ℎ，则依题意可列方程为( )
A. 63x+13=104xB. 63x+20=104xC. 63x−104x=13D. 63x−104x=20
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(−12,t)，与x轴的一个交点位于0和1之间，下列结论：①abc>0；②2b+c>0；③b2>4ac；④若点(−2,m)，(2,n)在抛物线上，则m>n；⑤若关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0无实数根，则t>−3.其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知x=m是一元二次方程x2−x−1=0的一个根，则代数式2025−m2+m的值是______．
12.不等式组2x+1>x3x≤6的解集是______．
13.十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是______．
14.如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则m−n= ______．
15.如图，平行四边形ABCD中，∠D=120°，CD=6，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为______．
16.如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，……如此下去，则△AB2024C2024的周长为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(12)−1−3tan30°+|− 3|−(π−1)0；
(2)先化简分式(1−1a)÷a2−2a+1a−1，然后从−1，0，1中选一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
为了进一步增强广大学生预防溺水安全教育的意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺水安全知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生(人数相同)的竞赛成绩(满分100分)进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如图所示(数据分为6组：A：40≤x<50，B：50≤x<60，C：60≤x<70，D：70≤x<80，E：80≤x<90，F：90≤x≤100)，其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在70≤x<80这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，78，78，78，79.甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计图中50≤x<60组对应扇形的圆心角是______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)表中m的值是______；甲班的成绩在70≤x<80这一组的众数是______；
(4)如果该校九年级学生有1200名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
19.(本小题8分)
【概念理解】
如图1，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【问题探究】
(1)如图2，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形ABCD；
【性质探究】
如图3，小明认真思考得出了下列结论：①对角线BD平分一组对角∠ABC和∠ADC；②对角线AC平分一组对角∠BAD和∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD垂直平分AC；⑤四边形ABCD的面积=12AC×BD；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
(2)你认为正确的结论有______；(只需填序号)
(3)请你任选一个你认为正确的结论进行证明．
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y=−x−2与y轴交于点D，与反比例函数y=kx在第二象限内的图象相交于点C(−4,a)．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)当−6≤x≤−1时，求y=kx的函数值的取值范围；
(3)将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
21.(本小题8分)
在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处.图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，测得BF=12cm，DF=16cm．
(1)求入射角α的度数；
(2)若光线从空气射入水中的折射率n=43，求光斑移动的距离BC.(参考数据：sin53°≈45，cs53°=35，tan53°≈43)
22.(本小题9分)
如图，以菱形ABCD的边AD为直径作⊙O交AB于点E，连接DB，F是BC上的一点，且BF=BE，连接DF．
(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)当∠C=60°，BF=2时，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点A(−12,0)，B(点A在B左边)，交y轴于C，点P(3,72)是抛物线上一点．

(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
【问题提出】
在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC.判断PA与DC的数量关系；∠PCD与α的关系．
【问题特殊化】
(1)如图1所示，当α=60°时，PA与DC的数量关系为______；∠PCD= ______°；
(2)如图2所示，当α=120°时，请问(1)中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】
(3)当α=90°时，若AB=6，BP=3 5，请求出线段AD的长．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.B
5.D
6.D
7.C
8.A
9.A
10.C
11.2024
12.−113.18
14. 3
15.9 3
16.122024a
17.解：(1)原式=2−3× 33+ 3−1
=2− 3+ 3−1
=1；
(2)原式=a−1a⋅a−1(a−1)2
=1a，
∵a≠0且a−1≠0，
∴a≠0且a≠1，
则a=−1，
∴原式=−1．
18.(1)57.6；
(2)甲班C：60≤x<70组人数为：50−3−8−13−17−3=6(人)，
补全条形统计图：
(3)班成绩的中位数m的值是77+772=77，
众数为78，
(4)1200×3+550+50+50=96(人)；
∴估计九年级学生成绩优秀的有96人．
19.(1)解：如图，四边形ABCD即为所求；
(2)解：正确的有①④⑤⑥；
(3)证明：对于④：∵AD=CD，AB=CB，
∴点B，D在线段AC的中垂线上，
∴BD垂直平分AC，
对于①：∵AD=CD，AB=CB，BD垂直平分AC，
∴OD平分∠ADC，OB平分∠ABC，
∴对角线BD平分一组对角∠ABC和∠ADC；
对于⑤：∵四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC
=12AC⋅OD+12AC⋅OB
=12AC⋅(OD+OB)
=12AC⋅BD；
20.解：(1)设反比例函数解析式为y=kx(k≠0)，
∵直线y=−x−2图象经过点C(−4,a)，
∴a=−(−4)−2=2，
∴C(−4,2)，
又∵反比例函数图象经过点C(−4,2)，
∴k=−4×2=−8，
∴反比例函数解析式为y=−8x；
(2)当x=−6时，y=−8−6=43，
当x=−1时，y=−8−1=8，
∵−8<0
∴在第二象限内，y随x的增大而减小
∴当−6≤x≤−1时，43≤y≤8；
(3)设平移后的直线y=−x+b交y轴于点M，设点M坐标为M(0,b)，连接BM，如图，

则S△ADC=S△MDC=12DM×|xC|=18，即12DM×4=18
∴DM=9，
∴b−(−2)=9，
∴b=7，
∴平移后直线解析式为y=−x+7．
21.解：(1)如图1，设法线为MN，则MN//BF，

∴∠BDN=∠DBF=∠PDM，
∵BF=12cm，DF=16cm，
∴tan∠DBF=DFBF=1612=43，
∵tan53°≈43，
∴∠DBF=53°，
∴∠BDF=37°=∠PDM，
∴α=37°；
(2)∵n=43，α=53°，
∴sinαsinβ=43，
∴sinβ=35，
作DH⊥AB，

sinβ=CHCD=35，
设CH=3x，CD=5x，则DH=4x，
∴4x=12，
解得：x=3，
∴CH=9cm，
∴BC=DF−CH=7cm，
答：光斑移动的距离是7cm．
22.(1)证明：连接DE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，AD/​/CB，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△ABD(SSS)，
∴∠CBD=∠ABD，
∵BF=BE，∠FBD=∠EBD，BD=BD，
∴△FBD≌△EBD(SAS)，
∴∠BFD=∠BED=90°，
∴∠ODF=180°−∠BFD=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：∵AB=AD，∠A=∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∵BF=BE=2，
∴AD=AB=2BE=2×2=4，
∴OA=12AD=12×4=2，
∴⊙O的半径长为2．
23.解：(1)将点A(−12,0)，P(3,72)代入y=ax2+bx+2，
得：14a−12b+2=09a+3b+2=72，
解得：a=−1b=72
∴抛物线的解析式为 y=−x2+72x+2；
(2)当x=0时，y=2，
∴点C(0,2)，
当y=0时，有−x2+72x+2=0，
解得：x1=−12，x2=4，
∴点B(4,0)，
∴抛物线的对称轴为：直线x=−12+42=74，
设直线BC的关系式为y=kx+2，把点B坐标代入，
得：0=4k+2，解得，k=−12，
∴直线BC的关系式为y=−12x+2，
由对称可得，直线BC与对称轴交点就是所求的点M，
当x=74时，y=−12×74+2=98，
∴M(74,98)时，MA+MC最小；
(3)当Q在PC下方时，如图，过P作PH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N，

∴∠PHC=∠CMH=∠HNP=90°，
∵∠QCP=45°，
∴△PHC是等腰直角三角形，
∴CH=HB，
∴∠CHM+∠BHN=∠HBN+∠BHN=90°，
∴∠CHM=∠HPN，
∴△CHM≌△HPN(AAS)，
∴CM=HN，MH=PN，
∵H(m,n)，
∵C(0,2)，P(3,72)，
∴2−n=3−m72−n=m，解得 m=94n=54，
∴H(94,54)，
设直线CH的解析式为 y=px+q，
∴94p+q=54q=2，解得p=−13q=2，
∴直线CH的解析式为 y=−13x+2，
联立直线CH与抛物线解析式得y=−x2+72x+2y=−13x+2，
解得x=0y=2或 x=236y=1318，
∴Q(236,1318)；
②当Q在PC上方时，如图，过P作．PH⊥CQ于H，过H作．MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N，

同理得Q(12,72)．
24.(1)PA=DC，60；
(2)不成立．理由如下：由旋转可知PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，∠PBD=∠PDB=30°，∠BAP=60°，
作AE⊥BC，PF⊥BD，
则BE=CE=AB⋅cs30°，BF=DF=BP⋅cs30°，
∴BC=2⋅AB⋅cs30°= 3BA，BD=2BP⋅cs30°= 3BP，
∴BCBA=BDBP= 3，
∵∠ABC=∠PBD=30°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴CDPA=BCAB= 3，
∴CD= 3PA，
∵△CBD∽△ABP，
∴∠BAP=∠BCD=60°，
∴∠PCD=∠BCD−∠BCA=30°，
故(1)中的结论不成立，CD= 3PA，∠PCD=30°；
(3)①点P在线段CA的延长线上时，作AQ⊥BC于点Q，连接AD，
在Rt△BAP中，AP= PB2−AB2=3，
由旋转可知PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠PBD=∠PDB=45°，
则BC= 2AB=6 2，BD= 2BP，
∴BCBA=BDBP= 2，
又∵∠ABC=∠PBD=45°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△BAP∽△BCD，
∴CD= 2AP=3 2，∠BAP=∠BCD=90°，
又∵AB=AC，AQ⊥BC，
∴AQ=CQ=12BC=3 2，
∴四边形AQCD为正方形，
∴AD=CD=3 2；
②当点P在线段AC上时，作DQ⊥AP，连接CQ、AD，
在Rt△BAP中，AP= PB2−AB2=3，
同理可得△BAP∽△BCD，
∴CD= 2AP=3 2，∠BAP=∠BCD=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCQ=45°，
∴DQ=CQ= 22CD=3，
∴AQ=AC+CQ=9，
在Rt△AQD中，AD= 81+9=3 10；平均数
中位数
优秀人数
甲班成绩
76
m
3
乙班成绩
76
72
5