2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课（四）【课件】

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数学 七年级上册 BS版
（第四章　基本平面图形）
1. 线段有 端点，射线有 端点，直线 ⁠ 端点.
2. 直线的性质.（1）经过两个点有且只有 条直线（简述为：两点确定一 条直线）；（2）过一点的直线有 条；（3）直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能 比较大小；（4）直线上有 多个点；（5）两条不同的直线最多有一个公共点.
3. （1）若一条直线上有 n 个点，则在这条直线上一共 有 条线段，一共有 条射线；（2）平面内的 n 条直线两两相交，最多有 ⁠个 交点.
4. 线段的性质.（1）两点之间的所有连线中， 最短；（2）两点之间线段的 ，叫作这两点之间的距离；（3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的.
5. 线段的中点.若点 M 把线段 AB 分成 的线段 AM 与 BM ，则点 M 叫作 线段 AB 的中点.6. 角平分线.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 ⁠的 角，这条射线叫作这个角的平分线.
7. 平角和周角.一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所 形成的角叫作 .终边继续旋转，当它又和始边重合时， 所形成的角叫作 ⁠.8. 角度的换算.1°＝ '，1'＝ ″.9. 方向角.以观测者的位置为中心，将 ⁠方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）.
10. 从一个 n 边形的某个顶点出发，可以作 ⁠条对 角线，这些对角线可以把 n 边形分成 个三角形. n 边形共有 条对角线.
（1）六边形有 条对角线.
【思路导航】根据从 n 边形的一个顶点可以作对角线的条数为 （ n －3），即可得解.
【点拨】多边形的对角线的公式中﹐要注意是从一个顶点出发 还是任意一个顶点出发.
（2）半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为 cm2. （结果保留π）【思路导航】根据扇形的面积公式进行计算即可.
1. 已知过 m 边形的一个顶点有7条对角线， n 边形没有对角线， k 边形共有 k 条对角线，则代数式（ m － k ） n 的值为 ⁠.2. 已知一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半 径为 ⁠.
类型二　角的度量与方向角
（1）如图，某海域有三个小岛 A ， B ， O ，在小岛 O 处观 测到小岛 A 在它北偏东62°的方向上，观测到小岛 B 在它南偏东 38°12'的方向上，则∠ AOB 的度数是 ⁠.
【思路导航】根据方向角的概念及角度的运算法则即可求解.
【解析】因为 OA 是表示北偏东62°方向的一条射线， OB 是表 示南偏东38°12'方向的一条射线，所以∠ AOB ＝180°－62° －38°12'＝79°48'.故答案为79°48'.
【点拨】在进行角度的加减运算时，注意度、分、秒的换算.
（2）在2时15分时，钟面上时针与分针所成的锐角的度数 是 ⁠.【思路导航】分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，根 据具体时间计算即可.
【解析】在2时15分时，分针指向数字3，而时针从数字2开始转 动的角度为15×0.5°＝7.5°，所以此时时针与分针所成的锐 角的度数为30°－7.5°＝22.5°.故答案为22.5°.
【点拨】时针每分钟转过的角度为0.5°，分针每分钟转过 的角度为6°，在解题时注意时针与分针的动态变化过程及 最终位置.
1. 已知∠α＝21'，∠β＝0.35°，则∠α与∠β的大小关系是 （　A　）
2. 从8：10到8：30，时钟的分针转过的角度为 ⁠°.3. 如图，已知点 A 在点 O 的正南方向上，点 B 在点 O 的北偏东 60°方向上.若点 C 与点 A ， B 在同一平面内，且∠ BOC ＝ 110°，求∠ AOC 的度数.
解：根据题意可知，∠ AOB ＝180°－60°＝120°，
①当∠ BOC （如答图，∠ BOC1）在∠ AOB 的内部时，因为∠ BOC ＝110°，所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝120°－110°＝10°；
②当∠ BOC （如答图，∠ BOC2）在∠ AOB 的外部时，因为∠ BOD ＝60°，所以∠ COD ＝∠ BOC －∠ BOD ＝110°－60°＝50°.所以∠ AOC ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠ AOC 的度数为10°或130°.
类型三　与线段长度有关的计算问题
已知点 A ， B ， C 在同一条直线上，且 AB ＝6， BC ＝10， 点 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，则 DE 的长为 ⁠.
【思路导航】根据题意求得 BD ， BE 的长，再利用点 C 与线段 AB 的关系分情况讨论即可.
【点拨】解答本题的关键是掌握线段中点的性质，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想.
1. 如图，已知 B ， C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB ∶ BC ∶ CN ＝2∶3∶4，点 P 是 MN 的中点，且 PC ＝2， 求 MN 的长.
解：设 MB ＝2 x ，则 BC ＝3 x ， CN ＝4 x .所以 MN ＝ MB ＋ BC ＋ CN ＝9 x .因为点 P 是 MN 的中点，所以 MP ＝4.5 x .所以 PC ＝ MC － MP ＝5 x －4.5 x ＝0.5 x ＝2.
解得 x ＝4.所以 MN ＝9 x ＝36.
2. 如图，已知点 P 是线段 AB 上一点， AB ＝12cm， C ， D 两点 分别从点 P ， B 同时向点 A 运动，点 C 的运动速度为2cm/s，点 D 的运动速度为3cm/s.设运动的时间为 t s.
（1）若 AP ＝8cm.①运动1s后，求 CD 的长；②当点 D 在线段 PB 上运动时，试说明： AC ＝2 CD ；
解：（1）①由题意可知， CP ＝2×1＝2（cm）， DB ＝3×1＝ 3（cm）.因为 AP ＝8cm， AB ＝12cm，所以 PB ＝ AB － AP ＝4cm.所以 CD ＝ CP ＋ PB － DB ＝2＋4－3＝3（cm）.②因为 AP ＝8cm， AB ＝12cm，所以 PB ＝4cm， AC ＝（8－2 t ）cm.所以 DP ＝（4－3 t ）cm.所以 CD ＝ CP ＋ DP ＝2 t ＋（4－3 t ）＝（4－ t ）cm.所以 AC ＝2 CD .
（2）若 t ＝2， CD ＝1cm，求 AP 的长.
解：（2）当 t ＝2时， CP ＝2×2＝4（cm）， DB ＝3×2＝6 （cm）.当点 D 在点 C 的右边时，如图1所示.
因为 CD ＝1cm，所以 CB ＝ CD ＋ DB ＝1＋6＝7（cm）.所以 AC ＝ AB － CB ＝12－7＝5（cm）.所以 AP ＝ AC ＋ CP ＝5＋4＝9（cm）；
当点 D 在点 C 的左边时，如图2所示.因为 AD ＝ AB － DB ＝12－6＝6（cm），所以 AP ＝ AD ＋ CD ＋ CP ＝6＋1＋4＝11（cm）.综上所述， AP ＝9cm或11cm.
类型四　与角有关的计算问题
在同一平面内，已知∠ AOB ＝30°，射线 OC 在∠ AOB 的 外部，射线 OD 平分∠ AOC ，且∠ BOD ＝40°，则∠ AOC 度数 为 ⁠.
【思路导航】分射线 OB 在∠ AOC 内部与外部两种情况，利用 角平分线的性质分别求解即可.
【解析】有两种情况：①如图1，若 OB 在∠ AOC 内部，则∠ AOD ＝∠ AOB ＋∠ BOD ＝30°＋40°＝70°.因为 OD 平分∠ AOC ，所以∠ AOC ＝2∠ AOD ＝2×70°＝140°；
②如图2，若 OB 在∠ AOC 外部，则∠ AOD ＝∠ BOD －∠ AOB ＝40°－30°＝10°.因为 OD 平分∠ AOC ，所以∠ AOC ＝2∠ AOD ＝2×10°＝20°.综上所述，∠ AOC 的度数为140°或 20°.故答案为140°或20°.
【点拨】解答本题需利用题目条件找出角与角的关系.注意分类 讨论思想的应用.
1. 如图，将长方形纸片 ABCD 的∠ C 沿着 GF 折叠（点 F 在 BC 上，且不与点 B ， C 重合），使点 C 落在长方形 ABCD 内部点 E 处.已知∠ BFE ＝3∠ BFH ，且∠ BFH ＝20°，则∠ GFH 的度 数是（　D　）
2. 在同一平面内，已知∠ AOB ＝60°，∠ COB ＝20°，则∠ AOC 的度数是 ⁠.
【解析】当射线 OC 在∠ AOB 的内部时，∠ AOC ＝∠ AOB －∠ COB ＝60°－20°＝40°；当射线 OC 在∠ AOB 的外部时，∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ COB ＝60°＋20°＝80°.所以∠ AOC 的度数为40°或80°.故答案为40°或80°.
3. （1）如图1，已知∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1.若 ∠ AOB ＝140°，求∠ BOC 的度数.
解：（1）由∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1，设∠ BOD ＝ x °，则∠ AOC ＝4 x °，∠ COD ＝2 x °.因为∠ AOB ＝140°，所以 x ＋2 x ＋4 x ＝140.解得 x ＝20.所以∠ BOD ＝20°，∠ COD ＝40°，∠ AOC ＝80°.所以∠ BOC ＝20°＋40°＝60°.
（2）如图2，已知∠ AOC ∶∠ COD ∶∠ BOD ＝4∶2∶1， OP 平分∠ AOB . 若∠ AOB ＝β，求∠ COP 的度数（用含β的代数式 表示）.
（3）如图3，已知∠ AOC ＝80°，∠ BOD ＝20°， OE 平分∠ AOD ， OF 平分∠ BOC ，求∠ EOF 的度数.
类型五　有关角的动态问题
如图，两条直线 AB ， CD 相交于点 O ，且∠ AOC ＝∠ AOD ，射线 OM （与射线 OB 重合）绕点 O 按逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线 ON （与射线 OD 重合）绕点 O 按顺时针方向旋转，速度为每秒10°.两射线 OM ， ON 同时运动，运动时间为 t 秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当 t ＝2，∠ MON 的度数 为 ；当 t ＝4，∠ MON 的度数为 ⁠.
【思路导航】（1）根据∠ AOC ＝∠ AOD 即可得出直角的个数；当 t ＝2时，或 t ＝4时，根据射线 OM ， ON 的位置，可得∠ MON 的度数；
（1）【解析】因为两条直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ AOC ＝ ∠ AOD ，所以∠ AOC ＝∠ AOD ＝90°.所以∠ BOC ＝∠ BOD ＝90°.所以图中一定有4个直角.当 t ＝2时，∠ BOM ＝2×15°＝30°，∠ NON ＝2×10°＝20°，所以∠ MON ＝30°＋90°＋20°＝140°，当 t ＝4时，∠ BOM ＝4×15°＝60°，∠ DON ＝4×10°＝40°，所以∠ MON ＝60°＋90°＋40°＝190°.因为题中角均指不大于平角的角，所以∠ MON ＝360°－190°＝170°.故答案为4，140°，170°.
（2）当0＜ t ＜12时，若∠ AOM ＝3∠ AON －60°，试求出 t 的值.
【思路导航】（2）根据∠ AOM ＝3∠ AON －60°，列出方程 进行求解，即可得到 t 的值；
（2）解：当 ON 与 OA 重合时， t ＝90÷10＝9（s）.
当 OM 与 OA 重合时， t ＝180°÷15＝12（s）.
如图1，当0＜ t ≤9时，∠ AON ＝90°－10 t °，∠ AOM ＝180° －15 t °.
由∠ AOM ＝3∠ AON －60°，可得180°－15 t °＝3（90°－10 t °）－60°，所以 t ＝2；
如图2，当9＜ t ＜12时，∠ AON ＝10 t °－90°，∠ AOM ＝180°－15 t °.
（3）解：当∠ MON ＝180°时，
∠ BOM ＋∠ BOD ＋∠ DON ＝180°，
所以15 t °＋90°＋10 t °＝180°.
∠ COM ＝90°－15 t °，∠ BON ＝90°＋10 t °，∠ MON ＝∠ BOM ＋∠ BOD ＋∠ DON ＝15 t °＋90°＋10 t °＝25 t °＋90°，
【点拨】本题考查角计算的综合应用，将相关的角用含 t 的代数 式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨 论是解题的关键.
如图1，点 O 是弹力墙 MN 上一点，魔法棒从 OM 的位置开始绕 点 O 向 ON 的位置按顺时针方向旋转，当转到 ON 位置时，则从 ON 位置弹回，继续向 OM 位置旋转；当转到 OM 位置时，再从 OM 的位置弹回，继续转向 ON 位置……按照这种方式将魔法棒 进行如下步骤的旋转：第1步，从 OA0（ OA0在 OM 上）开始旋 转α至 OA1；第2步，从 OA1开始继续旋转2α至 OA2；第3步，从 OA2开始继续旋转3α至 OA3……
例如：当α＝30°时， OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所 示，其中 OA3恰好落在 ON 上，∠ A3 OA4＝120°；当α＝20° 时， OA1， OA2， OA3， OA4， OA5的位置如图3所示，其中第4 步旋转到 ON 后弹回，即∠ A3 ON ＋∠ NOA4＝80°，而 OA5恰好 与 OA2重合.
（1）若α＝45°，在图4中借助量角器画出 OA2， OA3，其中∠ A3 OA2的度数是 ⁠.
（1）【解析】如图1所示.
由题意，得∠ A2 ON ＋∠ NOA3＝3×45°＝135°.因为∠ NOA2＝180°－∠ A0 OA1－∠ A1 OA2＝180°－45°－2×45°＝45°，所以∠ A3 OA2＝135°－2∠ NOA2＝135°－2×45°＝45°.故答案为45°.
（2）若α＜40°，且 OA3所在的射线平分∠ A2 ON ，求出α的值.
（2）【解析】如图2所示.
由图可知，∠ A0 OA2＝∠ A0 OA1＋∠ A1 OA2＝α＋2α＝3α.所以∠ A2 ON ＝180°－∠ A0 OA2＝180°－3α.由题意，得∠ A3 ON ＝α＋2α＋3α－180°＝6α－180°.因为 OA3平分∠ A2 ON ，所以180°－3α＝2（6α－180°）.所以α＝36°.
（3）若α＜35°，是否存在对应的α值使∠ A2 OA4＝30°？若存 在，直接写出对应的α值；若不存在，请说明理由.