高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题(精讲)(原卷版+解析)，共18页。


【知识储备】
一．中线有关结论、方法
中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．
即：如图，在中，为中点，则．

证明 在中，，在中，．
．
另外已知两边及其夹角也可表述为：．
证明 由，，
．
二．角平分线有关结论、方法
角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．
证法1 在中，，在中，，．
证法2 该结论可以由两三角形面积之比得证，即．
三．高线有关结论、方法
高的性质：分别为边上的高，则
求高三般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
【题型精讲】
【题型一 与中线有关的解三角形】
必备技巧 处理中线问题的三大技巧
1.直接用中线定理，2.向量法处理中线问题，3.过一顶点引平行线处理中线问题。
例1 (2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝________．
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，
（1）求证：；
（2）若边上中线，求的面积．
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝eq \f(12,5)，a＝b＝eq \r(13)，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________．
2．(2023·合肥百花中学高三期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，的面积为，求的长．
3．(2023·全国高三课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，．
（1）求角的大小；
（2）若，求边的中线长度的最小值．
【题型二 与角平分线有关的解三角形问题】
必备技巧 处理角平分线问题四大技巧
1.利用角平分线的性质，2.利用角平分线长定理，3.利用面积法处理，4.利用张角定理。
例3 (2023·广西河池·高三期末）在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________．
例4 (2023·山东济南·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝eq \r(7)，则cs ∠ADB的值为( )
A．－eq \f(\r(21),7) B．eq \f(\r(21),7) C．eq \f(2\r(7),7) D．±eq \f(\r(21),7)
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=−12，
（1）若bsinB−asinA=2csinC，求ac的值；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且BD=1，求4a+c的最小值。
3. (2023·四川资阳市高三月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度．
【题型三 与高线有关的解三角形问题】
必备技巧 高线有关的解题技巧
在三角形中利用正余弦定理计算或者利用面积法处理．
例5 (2023·河南·高三阶段练习）如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝eq \f(4\r(3),7)，则BC边上的高AD的长为_____．
例6 (2023·山东济南市高三月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A.
（2）若，边上的高为3，求c.
【题型精练】
1．(2023·陕西高三期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2eq \r(2)，高线长为eq \r(3)，且btanA＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．
2．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
3. (2023·济南省实验月考）中，角，，的对边分别为，，，边上的高为.
（1）求；
（2）若的周长为4，求边的长.
4.6 解三角形中的中线、角平分线、高线问题
【题型解读】
【知识储备】
一．中线有关结论、方法
中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．
即：如图，在中，为中点，则．

证明 在中，，在中，．
．
另外已知两边及其夹角也可表述为：．
证明 由，，
．
二．角平分线有关结论、方法
角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．
证法1 在中，，在中，，．
证法2 该结论可以由两三角形面积之比得证，即．
三．高线有关结论、方法
高的性质：分别为边上的高，则
求高三般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
【题型精讲】
【题型一 与中线有关的解三角形】
必备技巧 处理中线问题的三大技巧
1.直接用中线定理，2.向量法处理中线问题，3.过一顶点引平行线处理中线问题。
例1 (2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝________．
答案： 9
【解析】（由中线定理直接可以秒杀）如图所示，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，EC．因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BE＝AC＝7．又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cs∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠ABE．在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9．
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，
（1）求证：；
（2）若边上中线，求的面积．
答案：（1）证明见解析；（1）6
【解析】（1）由正弦定理及，得
又，
所以
由，得，代入上式整理得,即，
所以
（2）由（1）知，由正弦定理得①
在中，,
将①代入上式得，化简得
所以，
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝eq \f(12,5)，a＝b＝eq \r(13)，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________．
答案：eq \f(3\r(13),13) eq \f(3\r(5),2)
【解析】因为tan C＝eq \f(12,5)，所以sin C＝eq \f(12,13)，cs C＝eq \f(5,13)，又a＝b＝eq \r(13)，所以c2＝a2＋b2－2abcs C＝13＋13－2×eq \r(13)×eq \r(13)×eq \f(5,13)＝16，所以c＝4．由eq \f(a,sin∠BAC)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(\r(13),sin∠BAC)＝eq \f(4,\f(12,13))，解得sin∠BAC＝eq \f(3\r(13),13)．因为BC边上的中点为D，所以CD＝eq \f(a,2)，所以在△ACD中，AD2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2－2×b×eq \f(a,2)×cs C＝eq \f(45,4)，所以AD＝eq \f(3\r(5),2)．
2．(2023·合肥百花中学高三期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，的面积为，求的长．
答案：（1） （2）
【解析】（1）因为，
所以，
又，
所以，
可得：，
因为，所以，即，
因为，所以．
（2）（向量法处理中线问题）因为，，的面积为，
所以，由余弦定理，
可得，
可得，因为，
可得：，
解得，可得的长为．
3．(2023·全国高三课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，．
（1）求角的大小；
（2）若，求边的中线长度的最小值．
答案：（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理得，，因为，
所以，因为，所以，
所以，即，所以，
又，所以，所以，即．
（2）（中线定理直接可得）因为，
所以，化简得，
在中，由余弦定理得，，所以，
因为，当且仅当时，取等号，所以，
所以，所以，所以长度的最小值为．
【题型二 与角平分线有关的解三角形问题】
必备技巧 处理角平分线问题四大技巧
1.利用角平分线的性质，2.利用角平分线长定理，3.利用面积法处理，4.利用张角定理。
例3 (2023·广西河池·高三期末）在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________．
答案：eq \r(6)
答案：（用面积法或张角定理更简单）如图，在△ABD中，由正弦定理，得eq \f(AD,sin B)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，∴sin∠ADB＝eq \f(\r(2),2).
由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°．∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝eq \r(2).在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，∴AC＝eq \r(6)．
例4 (2023·山东济南·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
答案：（1）（2）
【解析】（1）选①得，.
即，
则（舍）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③.得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）（面积法）由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝eq \r(7)，则cs ∠ADB的值为( )
A．－eq \f(\r(21),7) B．eq \f(\r(21),7) C．eq \f(2\r(7),7) D．±eq \f(\r(21),7)
答案：B
【解析】法一（面积法） 如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°．又b＝3c，
所以eq \f(CD,BD)＝eq \f(S△CAD,S△DAB)＝eq \f(\f(1,2)b·AD·sin 30°,\f(1,2)AD·csin 30°)＝eq \f(b,c)＝3．因为BD＝eq \r(7)，所以CD＝3eq \r(7)，所以a＝CB＝4eq \r(7)．因为a2＝b2＋c2－2bccs ∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·eq \f(1,2)，解得c＝4．在△ABD中，由正弦定理，知eq \f(BD,sin ∠BAD)＝eq \f(c,sin ∠ADB)，即eq \f(\r(7),\f(1,2))＝eq \f(4,sin ∠ADB)，所以sin ∠ADB＝eq \f(2,\r(7))．因为b＝3c>c，所以B>C．因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cs ∠ADB＝eq \r(1－sin2∠ADB)＝eq \r(1－\f(4,7))＝eq \r(\f(3,7))＝eq \f(\r(21),7)．故选B．
法二 因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°．又b＝3c，所以eq \f(CD,BD)＝eq \f(S△CAD,S△DAB)＝eq \f(\f(1,2)b·AD·sin 30°,\f(1,2)AD·csin 30°)＝eq \f(b,c)＝3．因为BD＝eq \r(7)，所以CD＝3eq \r(7)，所以a＝CB＝4eq \r(7)．因为a2＝b2＋c2－2bccs ∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·eq \f(1,2)，解得c＝4．由余弦定理，得cs ∠BAD＝eq \f(AD2＋c2－BD2,2AD·c)，即eq \f(\r(3),2)＝eq \f(AD2＋16－7,8AD)，所以AD2－4eq \r(3)AD＋9＝0，所以(AD－eq \r(3))(AD－3eq \r(3))＝0．所以AD＝3eq \r(3)或AD＝eq \r(3)．因为b＝3c>c，所以B>C．又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝eq \r(7)，所以AD＝3eq \r(3)，所以cs ∠ADB＝eq \f(DA2＋DB2－AB2,2DA·DB)＝eq \f(27＋7－16,2×3\r(3)×\r(7))＝eq \f(\r(21),7)．故选B．
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=−12，
（1）若bsinB−asinA=2csinC，求ac的值；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且BD=1，求4a+c的最小值。
答案：（1）ac=1 （2）9
【解析】（1）由正弦定理，得b2−a2=2c2，即b2=a2+2c2；
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
又csB=−12，所以c2=ac；所以ac=1.
（2）（面积法）由题意得S∆ABC=S∆ABD+S∆DBC，即12acsin120°=12acsin60°+12csin60°，
所以ac=a+c，即1a+1c=1
则4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac≥5+2ca∙4ac=9，
当且仅当c=2a，即c=3，a=32时取等号，所以4a+c的最小值为9.
3. (2023·四川资阳市高三月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度．
答案：（1） （2）
【解析】（1）由及正弦定理得
，
因为，所以，由为三角形内角得；
（2）（面积法+角平分线的性质）因为平分，则到，的距离相等，设为，因为，
所以，由角平分线性质得，所以，
因为，，由余弦定理得，解得
所以，因为，，
解得．
【题型三 与高线有关的解三角形问题】
必备技巧 高线有关的解题技巧
在三角形中利用正余弦定理计算或者利用面积法处理．
例5 (2023·河南·高三阶段练习）如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝eq \f(4\r(3),7)，则BC边上的高AD的长为_____．
答案：12eq \r(3)或20eq \r(3)
【解析】在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，由正弦定理，得eq \f(7x,sin C)＝eq \f(8x,sin B)，∴sin C＝eq \f(7x·sin B,8x)＝eq \f(7,8)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2)．又∵0°7x，知B也为钝角，不合题意，故C≠120°．∴C＝60°．由余弦定理，得(7x)2＝(8x) 2＋152－2×8x×15cs 60°，∴x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5．∴AB＝21或AB＝35．在Rt△ADB中，AD＝ABsin B＝eq \f(4\r(3),7)AB，∴AD＝12eq \r(3)或20eq \r(3)．
例6 (2023·山东济南市高三月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A.
（2）若，边上的高为3，求c.
答案：（1）；（2）或.
【解析】（1）中，∵，
由正弦定理得，
∴，即；
∵为内角，，
∴，又∵为内角，∴.
（2）因为
将，，代入，得.由余弦定理得，
于是，即，解得或.
【题型精练】
1．(2023·陕西高三期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2eq \r(2)，高线长为eq \r(3)，且btanA＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．
答案：8
【解析】因为btan A＝(2c－b)tan B，所以eq \f(tan A,tan B)＝eq \f(2c,b)－1，所以1＋eq \f(tan A,tan B)＝eq \f(2c,b)，根据正弦定理，得1＋eq \f(sin Acs B,sin Bcs A)＝eq \f(2sin C,sin B)，即eq \f(sinA＋B,sin Bcs A)＝eq \f(2sin C,sin B)．因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cs A＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,3)．设BC边上的中线为AM，则AM＝2eq \r(2)，因为M是BC的中点，所以eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，即eq \(AM,\s\up7(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AC,\s\up7(→))2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→)))，所以c2＋b2＋bc＝32 ①．设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝eq \f(1,2)AH·BC＝eq \f(1,2)bc·sin A，得eq \f(\r(3),4)bc＝eq \f(\r(3)a,2)，即bc＝2a ②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc ③，联立①②③得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,2)))2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．
2．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理，得，
所以，，所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，.
（2）因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，，所以，.
3. (2023·济南省实验月考）中，角，，的对边分别为，，，边上的高为.
（1）求；
（2）若的周长为4，求边的长.
答案：（1）； （2）.
【解析】（1）由，
可得，故，又，
解得：，又，故.
（2）若的周长为4，即可得：，又，
由余弦定理得：解得：.